设2次函数f(x)=x^2+bx+c(b,c∈R),且对于任何实数α,β,恒有f(sinα)>=0,f(2+cosβ)<=01.求证b+c=-1.2.求证c>=33.若函数f(sinα)的最大值为8 ，求b和c的值
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解：对于（1），欲出现ｂ＋ｃ，需让ｘ２＋ｂｘ＋ｃ中的ｘ取1．给的是不等关系，要的是相等关系，故可采用两边夹的办法，即既推ｆ（1）≥0，又推ｆ（1）≤0． 有了（1），则二次函数的解析式可消去ｂ，即ｆ（ｘ）＝ｘ２－（1＋ｃ）ｘ＋ｃ．为了证（2），我们可采用取中间点与端点值试验的方法，看什么时候能达到要求．注意到｜ｓｉｎα｜≤1，1≤2＋ｃｏｓβ≤3，可计算ｆ（－1），ｆ（0），ｆ（3），易知当ｘ＝3时，可得到（2），但这不能代替证明！证明需这样写： ∵ ｆ（ｘ）＝ｘ２－（1＋ｃ）ｘ＋ｃ＝（ｘ－1）•（ｘ－ｃ）≤0在1≤ｘ≤3时恒成立， ∴ ｘ－ｃ≤0，即ｘ≤ｃ恒成立． ∴ ｃ≥ｘｍａｘ＝3． 对于（3），首先有 ｆ（ｓｉｎα）＝ｓｉｎ２α－（1＋ｃ）ｓｉｎα＋ｃ，考察该函数的单调性，看什么时候ｆ（ｓｉｎα）取最大值8． 由（2）知ｃ≥3，从而（1＋ｃ）／2≥2，故ｆ（ｓｉｎα）在ｓｉｎα＝－1时取最大值8，即 （－1）２＋（1＋ｃ）•1＋ｃ＝8，得 ｃ＝3，从而 ｂ＝－1－ｃ＝－1－3＝－4． 。
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(1)证明：∵－1≤sinα≤1且f(sinα)≥0恒成立∴f(1)≥0∵1≤2+cosβ≤3,且f(2+cosβ)≤0恒成立∴f(1)≤0.∴f(1)=0∴b+c+1=0 即b+c=-1(2)证明：∵f(2+cosβ)≤0,∴f(3)≤0∴9+3b+c≤0∵b+c=－1∴c≥3(3)解：分析：f(sinx)=sin2x-(1+c)sina+c，考察该函数的单调性，看什么时候f(sinx)取最大值8． 由②知c≥3，从而(1+c)/2≥2，故f(sinx)在sinx=－1时取最大值8，即(-1)^2+(1+c)*1+c＝8，得c=3，从而b=-1-c=-1-3=-4