设a,b,c是三角形ABC的三边长，求证；3≤（a+b+c)^2/(ab+bc+ca)<4
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证明：先证明：3≤（a+b+c)^2/(ab+bc+ca)∵a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)=(1/2)[(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2]≥0∴a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca∴(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca≥(ab+bc+ca)+2ab+2bc+2ca=3(ab+bc+ca)∴(a+b+c)^2/(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca)/(ab+bc+ca)=3………①(得证)现在就是证明：(a+b+c)^2/(ab+bc+ca)＜4实际上，就可以转化成证明：(a+b+c)^2＜4(ab+bc+ca)即a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca＜4(ab+bc+ca)最后，发现就是证明：a^2+b^2+c^2＜2(ab+bc+ca)∵a,b,c为△ABC的三边∴|a－b|＜c， |b－c|＜a，|a－c|＜b∴(a－b)^2＜c^2，(b－c)^2＜a^2，(a－c)^2＜b^2上述三个同向不等式相加得：(a－b)^2+(b－c)^2+(a－c)^2＜a^2+b^2+c^2即a^2+b^2+c^2＜2(ab+bc+ca)………②联立①②，命题得证。