设等比数列｛an｝的前n项和为Ｓn，公比为q.1.若S5.S15.S10成等差数列.求证2S5.S10.S20-S10成等比数列2.若2S5.S10.S20-S10成等比数列.试问S5.S15.S10一定成等差数列吗？
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第1小题，解：S5=a1*(1-q^5)/(1-q) ； S15=a1*(1-q^15)/(1-q) S10=a1*(1-q^10)/(1-q) ；S20=a1*(1-q^20)/(1-q) ∵2S15=S5+S10 ∴2*(1-q^15)=(1-q^5)+(1-q^10)即2q^15=q^5+q^10 化为2q^10=1+q^5 解之q^5=-1/2 所以：S5=[a1*(3/2)]/(1-q) S10=[a1*(3/4)]/(1-q) S20=[a1*(15/16)]/(1-q) 此时：S10/(2S5)=1/4 (过程自己算)(S20-S10)/S10=1/4 (过程自己算)∵S10/(2S5)=(S20-S10)/S10=1/4 ∴2S5。S10。S20-S10成等比数列第2小题，解： S5=a1*(1-q^5)/(1-q) S15=a1*(1-q^15)/(1-q) S10=a1*(1-q^10)/(1-q) S20=a1*(1-q^20)/(1-q) ∵2S5*(S20-S10)=(S10)^2 即2(q^10-q^20)(1-q^5)=(1-q^10)^2 化为2q^10(1-q^10)(1-q^5)=(1-q^5)^2(1+q^5)^2化为q^10=(1+q^5) 解之q^5=-1/2此时：S10=[a1*(3/4)]/(1-q) S5=[a1*(3/2)]/(1-q)S15=[a1*(9/8)]/(1-q)很明显，上面的s10,s5,s15都有公因式a1/(1-q)∵2×(9/8)＝9/4，3/4＋3/2＝9/4∴2s5＝s10＋s5∴S5，S15，S10一定成等差数列。
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S5。S15。S10成等差数列 2S15=S5+S102a1(1-q^15)/(1-q)=a1(1-q^5)/(1-q)+a1(1-q^10)/(1-q)q^5+q^10=2q^151+q^5=2q^10 ①若2S5。S10。S20-S10成等比数列S10^2=2S5*(S20-S10)S10^2=a1^2*(1-q^10)^2/[(1-q)^2]2S5*(S20-S10)=2*a1(1-q^5)/(1-q)*[a1(1-q^20)/(1-q)-aq(1q^10)/(1-q)] =2*a1^2(1-q^5)(q^10-q^20)/[(1-q)^2]则(1-q^10)^2=2(1-q^5)*(q^10-q^20)整理后得(q^5-1)^2*(q^5+1)*(2q^10-q^5-1)=0 ②由①可推出②反之亦然所以一定可以推出。