定义：设函数y=f(x)在x∈(a,b)上满足：任取x1、x2、x3、…、xn∈(a,b)，有f[(x1+x2+…+xn)/n]≥[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]/n成立，则称y=f(x)在x∈(a,b)上为上凸函数。①求证：函数ｙ=lnx 在x∈(０,＋∞)上是上凸函数②求证：函数ｙ=√x 在x∈(０,＋∞)上是上凸函数③若a、b、c∈｛正实数｝，利用上面知识证明：(a+b+c)/3≥3√abc ＊ (a+b+c)/3≥3√abc”不等号右边的3是根指数 ＊
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①因为x1、x2、x3、…、xn∈(０,＋∞)所以由均值不等式得：(x1+x2+…+xn)/n ≥(n次)√(x1*x2*x3*…*xn)因为 y = lnx在x∈(０,＋∞)是增函数所以 ln[(x1+x2+…+xn)/n} ≥ln[(n次)√(x1*x2*x3*…*xn)]即ln[(x1+x2+…+xn)/n} ≥(lnx1+lnx2+lnx3+。。。+lnxn)/n所以函数ｙ=lnx 在x∈(０,＋∞)上是上凸函数②因为x1、x2、x3、…、xn∈(０,＋∞)所以由柯西不等式得：(1^+1^+。。。+1^)*[(√x1)^+(√x2)^+。。。+(√xn)^]≥(√x1 +√x2+。。。+√xn)^即 (x1+x2+。。。+xn)≥ (√x1 +√x2+。。。+√xn)^/n由于y=√x 在x∈(０,＋∞)是增函数所以 √[(x1+x2+。。。+xn)/n] ≥ (√x1 +√x2+。。。+√xn)/n所以函数ｙ=√x 在x∈(０,＋∞)上是上凸函数③因为y=lnx 在x∈(０,＋∞)上是上凸函数所以ln (a+b+c)/3 ≥ (lna+lnb+lnc)/3即 (a+b+c)/3 ≥ 1/3 *ln(abc)所以：(a+b+c)/3≥(3次)√(abc)(x^ 代表x的平方)。