初二相似三角形

在△ABC中,AC=BC,F为边AB上的一点,BF∶AF=m∶n（m、n＞0），取CF的中点D，连结AD并延长交BC于点E。（1）求BE∶EC的值；（2）若BE=2EC，那么CF所在的直线与边AB有怎样的位置关系？证明你的结论。（3）E点能否成为BC中点？若能，求出相应的ｍ∶ｎ，若不能，证明你的结论。

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第①小题：过F作FG∥AE交BC于G点∴BG:GE＝BF:FA＝m:n∵D为CF中点，且FG∥AE∴E为CG中点 即CE＝EG∴BE∶EC＝(BG+GE):CE＝(BG+GE):GE＝(m+n):n第②小题：∵BE∶EC＝(BG+GE):CE＝(BG+GE):GE＝(m+n):n且BE=2EC∴m＝n∵AC＝BC∴CF是AB的中垂线第③小题：∵BE∶EC＝(BG+GE):CE＝(BG+GE):GE＝(m+n):n假设E为BC中点∴BE∶EC＝(m+n):n＝1：1∴m＝0这和以知条件m、n＞0相矛盾∴假设E为BC中点不能成立∴E不能为BC中点

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（1）解：过D点作DG∥AB，交BC于G，∵DG∥AB ∴DG：FB=CD：CF=1：2， CD：DF=CG：GB ∴DG=1/2FB=1/2m， ∴EG：EB=1/2m：（m+n）， ∴EG/GB=1/2m：（1/2m+n），∴BE：EC=（GB+EG）：（CG-CE） = （m+n）：n；（2）当BE=2EC时，即BE：EC=（m+n）：n=2，∴m=n，此时CF平分AB（注释：即CF是AB边上的中线），下面给出证明： 过点F作FH∥BC，交AE于H，则FH：BE=AF：AB，FH：CE=DF：CD=1：1， ∴CE=FH，又∵BE=2EC∴CE：BE=AF：AB=1：2，∴AF=FB，即CF平分AB；（3）E点不能成为BC中点，证明：假如E点为BC中点，即CE=BE，∵CD=DF∴DE∥AB，这与直线DE与AB相交于A点矛盾，故E点不能成为BC中点。 。

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如图(1)做DG//BF,GH//CF，所以G为BC中点,H为BF中点所以BG:GE=AD:DE=AH:HB=(m+0.5n):(0.5n)又BG:CG=1 所以BE:EC=(BG+EG):(CG-EG)=(BG+EG):(BG-EG)=(m+n):m(2)（m+n）:m=2:1 所以m=n,F为AB中点，又AC=BC，所以CF垂直于AB(3)若E为BC中点则m+n=m,n=0 ,m:n无意义