已知一圆锥的母线和底面的夹角为2Q,且有一个半径为1的球内切于该圆锥,求:圆锥的母线和底面圆半径的和? 圆锥的全面积? 当Q满足何关系时,圆锥的全面积最小?
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解法1。作圆锥的轴截面ABC，A为圆锥的顶点，BC为底面的直径，O是底面的圆心，D为内切球在轴截面的圆的圆心。设圆锥的母线为l,底面圆半径为R，则在直角三角形DOC中，R=DO*cotQ=1*cotQ=cotQ,在直角三角形AOC中，l=R/cos2Q=cotQ/cos2Q。所以，圆锥的母线和底面圆半径的和为l+R=cotQ+cotQ/cos2Q=4[(cosQ)^4]/sin4Q。圆锥的全面积为S全=底面积+侧面积=πR^2+(1/2)*l*2πR=πR^2+πlR=πR(R+l)=πcotQ*(cotQ+cotQ/cos2Q)=2π(cosQ)^4/[cos2Q(sinQ)^2]。因为S全=πR^2+πlR=π(R^2+lR)≥2π√(R^2*lR),当且仅当R^2=lR时，取等号,所以，当R=l时,S全的值最小。但是在直角三角形ACO中，总有ACOC,即lR,所以，圆锥全面积的最小值不存在。解法2。作圆锥的轴截面ABC，A为圆锥的顶点，BC为底面的直径，O是底面的圆心，D为内切球在轴截面的圆的圆心。设圆锥的母线为l,底面圆半径为R，则在直角三角形DOC中，R=DO*cotQ=1*cotQ=cotQ,在直角三角形AOC中,AO=R*tan2Q=cotQtan2Q。过点D作DE垂直于AC于E，则面积关系，可得AC*DE+DO*OC=OC*AO,即l*1+1*R=R*Rtan2Q。所以，l+R=tan2Q*R^2=tan2Q(cotQ)^2。所以，S全=πR^2+πlR=πR(R+l)=πcotQ*tan2Q(cotQ)^2=πtan2Q(cotQ)^3 。这个结果看上去好象与解法1中的不一样，但其实质是一样的。。