如图，△ABC中，AB=AC，EF∥BC，且⊙O内切于四边形BCFE。当AE/BE=1/n时，sin B等于多少？请说明理由。
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作AO延长交BC于D点，交EF于H点。由于△ABC是等腰三角形，且圆O为内切圆，所以AD垂直于BC，亦垂直于EF，OD=OH=圆的半径。从O作AB的垂线交AB于G点，则OG为圆的半径。设AE=L，则EB=nL。设AH=S，EH=X，BD=Y。由于OH垂直于EF，OG垂直于AB，且OH=OG，所以OE为角FEB的平分线，△OHE全等于△OGE，所以，x=EG。同理可证得y=BG。则 x+y=EB=nL，x=nL-y。x/y = AE/AB = L/(n+1)L = 1/(n+1), 所以 x=y/(n+1)=（上边得出的）nL-y，则 y=(n+1)nL/(n+2)，x=nL/(n+2)。对于△AHE，已知EF//BC，所以角AEH=角B，在直角三角形AHE中，s=(L^2-x^2)^0。5 = (把上边的x值代入) [2L(1+n)^0。5]/(n+2)所以，sin B=s/L=[2(1+n)^0。5]/(n+2)。
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取BC的中点G，连接AG交EF于D，连接EO、BO由条件AB=AC，EF∥BC，且⊙O内切于四边形BCFE可知图形关于AG轴对称所以AD过O点，D、G分别是EF、BC的中点兼切点因为⊙O内切于等腰梯形BCFE,所以BE=(EF+BC)/2［这个可由S△OFE+S△OBC+2S△OEB=S梯形EBCF=r(EF+BC)得出，r为⊙O的半径］因为⊙O内切于等腰梯形BCFE，所以EO、BO分别是∠FEB、∠EBC的角平分线又由于∠FEB和∠EBC互补，所以∠OEB和∠EBO互余，∠EOB是直角所以BE^2 = EO^2 + BO^2 = ED^2 + DO^2 + OG^2 + BG^2 = ED^2 + BG^2 + 2DO^2由于BE=(EF+BC)/2=ED+BG, 即BE^2 = ED^2 + BG^2 + 2ED·BG所以DO^2=ED·BG, DO=√(ED·BG), DG=2√(ED·BG)所以sinB=DG/BE=[2√(ED·BG)]/ED+BG 因AE/BE=1/n ，所以BE/AE=n → AB/AE=n+1 → BG/ED=n+1 → BG=ED(n+1)所以sinB=[2√(ED·BG)]/ED+BG =[2ED√(n+1)]/[ED(n+2)]=[2√(n+1)]/(n+2)(累死我了！……）。