已知椭圆X^2/A^2+Y^2/B^2=1(A>B>0),A.B是椭圆上两点,线段AB的中垂线与X轴交于点T(X0,0),证-(a^2-b^2)/a<X0<(a^2-b^2)/a.
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解:设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点C(x',y'),T(xo,0),直线AB的斜率k,线段AB的中垂线的斜率k'∵A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆上两点,∴b^x1^+a^y1^=a^b^……①∴b^x2^+a^y2^=a^b^……②①-②得:b^(x1^-x2^)+a^(y1^-y2^)=0∴b^(x1+x2)(x1-x2)+a^(y1+y2)(y1-y2)=0∴b^(2x')+a^(2y')k=0,k=-b^x'/a^y'又kk'=-1。∴k'=a^y'/b^x'又∵(y')/(x'-xo)=a^y'/b^x',y'≠0∴1/(x'-xo)=a^/b^x',∴a^(x'-xo)=b^x',x'=a^xox'=a^xo/(a^-b^),又∵-a＜x'＜a-a＜a^xo/(a^-b^)＜a-1＜axo/(a^-b^)＜1∴-(a^-b^)/a＜xo＜(a^-b^)/a。