证明若an=1 1

证明:若an=1 1/2 1/3 ..... 1/n-ln(n),则数列{an}存在极限,且极限为c=0.577216(欧拉常数)证明:若an=1+1/2+1/3+.....+1/n-ln(n),则数列{an}存在极限,且极限为c=0.577216(欧拉常数)

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用导数的方法易证，当x0时，f(x)=ln(1+x)-x/(x+1)0，g(x)=x-ln(1+x)0==》1。an-a（1+n）=ln(1+1/n)-1/(n+1)0,==》{an}递减。2。由g(x)=x-ln(1+x)0==》1/kln(1+1/k)==》an=1+1/2+1/3+.....+1/n-ln(n)==[1-ln(1+1/1)]+[1/2-ln(1+1/2)]+。。+[1/（n-1）ln(1+1/（n-1）)]+1/n0==》{an}有下界，所以数列{an}存在极限，且极限为c称为欧拉常数 。注意c=0.577216(欧拉常数)的性质不知。这个极限在求级数时也会用到。