函数f(x)在[0，1]上有定义，f(0)=f(1),且对任意不同的x1,x2 ∈[0，1]都有|f(x2)-f(x1) |<|x2-x1|,求证|f(x2)-f(x1) |〈 1/2
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函数f(x)在[0，1]上有定义，f(0)=f(1),且对任意不同的x1,x2 ∈[0，1]都有|f(x2)-f(x1) |<|x2-x1|,求证|f(x2)-f(x1) |〈 1/2 证明：可用反证法证明，不妨假设|f(x2)-f(x1) |≥ 1/2 由已知，函数f(x)在[0，1]上有定义，f(0)=f(1),且对任意不同的x1,x2 ∈[0，1]都有|f(x2)-f(x1) |<|x2-x1|所以有|f(x2)-f(0) |<|x2-0|＝x2|f(x2)-f(1) |<|x2-1|＝1-x2两边分别相加得：|f(x2)-f(0) |<1/2这与已知相矛盾，故假设不成立。原式得证。
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假设|f(x1)-f(x2)|≥1/2必有|x2-x1|1/2可设1≥x1≥x2≥0|f(1)-f(x1)|<|1-x1||f(x2)-f(0)|<|x2-0||f(x1)-f(x2)|≤|f(1)-f(x1)|+|f(x2)-f(0)|<|1-x1|+|x2-0|=1-(x1-x2)≤1/2|f(x1)-f(x2)|<1/2矛盾所以|f(x1)-f(x2)|<1/2因为|f(x1)-f(x2)|=|[f(x1)-f(1)]+[f(0)-f(x2)]|而|[f(x1)-f(1)]+[f(0)-f(x2)]|≤|f(1)-f(x1)|+|f(x2)-f(0)|