集合的问题

已知S是两个整数平方和的集合，即S={x│x=m^2+n^2,m∈Z,n∈Z│。求证：1）若s,t∈S，则st∈S2）若s,t∈S,t不等于0,则s/t=p^2+q^2,其中p,q为有理数。

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(1)我们不妨假设 有s=a^2+b^2, t=c^2+d^2 （a,b,c,d均为整数）则st=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac)^2+(bd)^2+(ad)^2+(bc)^2=[(ac+bd)^2-2abcd]+[(ad-bc)^2+2abcd]=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2由此可以看出，我们将st也可以表示成两个整数的平方和的形式，故得证(2)我们以上面的假设继续证明这道题s/t=(a^2+b^2)/(c^2+d^2)[其中因为t不等于0，故这里的c*d≠0]=(a^2+b^2)(c^2+d^2)/(c^2+d^2)利用上面的证明结论=[(ac+bd)^2+(ad-bc)^2]/(c^2+d^2)=(ac+bd)^2/(c^2+d^2)+(ad-bc)^2/(c^2+d^2)=[(ac+bd)/p']^2+[(ad-bc)/p']^2其中(p')^2=c^2+d^2 (p'为一实数)，故而得证。

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分子分母同乘以分母，....（图片需要“点”一下看，很清楚的）：