过椭圆x^2/a^2 y^2/b^2=1(ab0)

过椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)外一定点A(m,0)作一条直线l交椭圆于P,Q,又Q关于x轴的对称点为Q1,连接PQ1交x轴于B求证:B为顶点(a^2/m,0)

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证:设B(x,0),P(x1,y1),Q(x2,y2),因为Q和Q1关于x轴对称所以∠QBC=∠Q1BC=∠PBA,所以k(PB)+k(BQ)=0设AP方程为y=k(x-m)代入x^2/a^2+y^2/b^2得:(a^2k^2+b^2)x^2-2ma^2k^2x+a^2m^2k^2-a^2b^2=0所以x1+x2=2ma^2k^2/(a^2k^2+b^2),x1x2=(a^2m^2k^2-a^2b^2)/(a^2k^2+b^2)因为k(PB)+k(BQ)=0,所以y1/(x1-x)+y2/(x2-x)=0,因为y1=k(x1-m),y2=k(x2-m)代入上式得:2x1x2-(m+x)(x1+x2)+2mx=0所以2a^2m^2k^2-2a^2b^2-2m^2a^2b^2-2ma^2k^2x+2ma^2k^2x+2mb^2x=0所以x=a^2/m,得证