已知：△ABC的BC边的垂直平分线与∠BAC的平分线交与点G，GE⊥AB与E，GF⊥AC于E，求证：BE=CF。
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连接BG,CG;因为GE⊥AB与E，GF⊥AC于F;所以角AEG=角AFG,角BAG=角CAG角BEG=角CFG;因为AG=AG所以三角形AEG全等于三角形AFG;所以角AGE=角AGF;因为G在△ABC的BC边的垂直平分线上交BC于点D所以BG=CG;角FBC=角ECB;角BGD=角CGD;所以角EGB=角FGC;所以三角形EGB全等于三角形FGC(条件角EGB=角FGC,BG=CG,角BEG=角CFG);所以BE=CF
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连接E、F。由于GE⊥AB，GF⊥AC，因此A、E、G、F四点共圆因此：∠GEF=∠GAF=∠GAE=∠GFE△GEF为等腰三角形，GE = GF又：G在△ABC的BC边的垂直平分线上，因此：GB = GC所以：直角△BGE与直角△CGF全等所以：BE=CF。