已知三角形ABC内接于圆 O.(1)当点O与AB有怎样的位置关系时，角ACB是直角;(2)在满足（1）的条件下，过点C作直线交AB于D，当CD与AB有什么样的关系时，三角形ABC相似三角形CBD相似三角形ACD；(3)画出符合（1），(2)题意的两种图形，使图形中的CD＝2cm.
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解: (1)因△ABC内接于⊙O, ∴∠ACB是AB弧上的圆周角 又∵∠ACB=90°∴AB弧上的圆心角AOB=180°即A,O,B三点共线所以AB过点O(即AB是⊙O的直径) (2)若△ABC∽△CBD∽△ACD则∠CDB=∠ADC=∠ACB=90°即CD⊥AB所以,当CD与AB垂直时, △ABC∽△CBD∽△ACD (3)作图:符合(1)的图形作法:1。作⊙O,2。过圆心O作⊙O的直径AB;3。在⊙O上取除A,B外的任意一点C,连结AC,BC所得图形就是所要求作的图形。符合(2)的图形作法:1。作射线AM;2。在射线AM上取一点D(D与A不重合);3。过D作CD⊥AM,使DC=2厘米;4。连结AC;5。过C作BC⊥AC,交AM于B;6。连结BC;则所得△ACB是直角三角形;7。取AB的中点O,以O为圆心,1/2AB长为半径作圆,所得图形就是所求作的图形。图中△ABC∽△CBD∽△ACD且CD=2厘米。
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(1)当点O在AB上时,角ACB是直角(2)当CD垂直于AB时,这三个三角形相似(3)画圆的话先画一个半径大与等于2cm的圆,然后用尺在圆上找出点C使之到直径(交圆O于AB)的距离为2cm,最后连结AC,BC.
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解: (1)因△ABC内接于⊙O,∴∠ACB是AB弧上的圆周角又∵∠ACB=90°∴AB弧上的圆心角AOB=180°即A,O,B三点共线所以AB过点O(即AB是⊙O的直径)(2)若△ABC∽△CBD∽△ACD则∠CDB=∠ADC=∠ACB=90°即CD⊥AB所以,当CD与AB垂直时, △ ABC∽△CBD∽△ACD(3)作图:符合(1)的图形作法:1。作⊙O,2。过圆心O作⊙O的直径AB;3。在⊙O上取除A,B外的任意一点C,连结AC,BC所得图形就是所要求作的图形。符合(2)的图形作法:1。 作射线AM;2。 在射线AM上取一点D(D与A不重合);3。 过D作CD⊥AM,使DC=2厘米;4。 连结AC;5。 过C作BC⊥AC,交AM于B;6。 连结BC;则所得△ACB是直角三角形;7。 取AB的中点O,以O为圆心,1/2AB长为半径作圆,所得图形就是所求作的图形。图中△ABC∽△CBD∽△ACD且CD=2厘米。
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（1）当边AB过圆心O时。（2）但边AB与直线CD垂直时！
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AB过O点CD垂直于AB
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(1) O在AB的中点(2) CD⊥AB(3) 画图：任取二垂直线l⊥k,从垂足点D向上截2cm为C点，在垂足点右侧任截 一点B，连BC，作BC的垂直平分线交BD的延长线于O点，以O为圆心 OB为半径画圆，交BO的延长线于A点，连AB、AC，即得所求。
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(1)A,B,C在同一条直线上（2）直线CD垂直直线AB
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解:（1）设内接圆O与AB、BC、AC分别交于D、G、F，由（1）的条件：角ACB是直角，从而可推算出四边形FOGC为正方形，从而有：CF=CG，易证三角形ACG和三角形BCF全等，有AC=BC，即三角形ABC为等腰直角三角形，再证三角形AOC和三角形BOC全等，有AO=BO，因此O为AB的垂直平分线上的点时，角ACB是直角。 （2）在满足（1）的条件下，过点C作直线交AB于D，当CD是AB的垂直平分线时（注意：O在直线AB上），当CD与AB有什么样的关系时，三角形ABC相似三角形CBD相似三角形ACD； （3）从略。
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(1) AB通过圆心O(2) CD垂直于AB(3) 图形很好画，只要符合以上两个条件再外加2cm即可。
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（1）O 与 A B 在一天直线时 。