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Dilikelei hanshu狄利克雷函数 Dirichlet -function 又称对应于模的特征()的狄利克雷L函数, 即函数[122-1]，其中1,()是模的一个特征,复变数=+i,1。它在=1时就是黎曼函数。这类函数最初是由P。G。L。狄利克雷在研究算术级数中的素数分布问题时引进的。它的性质和作用,都与黎曼函数类似，在许多数论问题中有重要应用。它的主要性质有： ① 当1时，[122-2]，式中[122-3]表示对全体素数求积。因而L(,)0 (1)。 ② 当是模的主特征时， [122-4]于是，通过T(02512)()就把L(,)解析开拓到全平面。 ③ 当是模的非主特征时,一定存在惟一的一个模[xin]的原特征[xin]，使当1时，有 [122-5] ④ 当是模的原特征时,L(,)可解析开拓为整函数，且满足函数方程 [122-6]，式中[122-7]()为仅与有关的常数，且满足[122-8]表的共轭特征,即[122-9] ⑤ 对任意的模的特征，有(1,)0。 ⑥设是模的原特征，那么=-(2+())( =0,1,2,…)是L(,)的一级零点,称为“无聊零点”；L(,)可能有的其他零点（称为“非无聊零点”）一定都位于带形区域01中;L(,)确有无穷多个非无聊零点。 ⑦ 设 0，以(，)表 L(,)在区域01，｜｜ 中的零点个数因此，当 是模的原特征和2时，有[122-10] ⑧ 设0,[122-11]，以(，，)表L(，)在区域1,｜｜中的零点个数再设[122-12][122-13]，其中Σ表对模的所有特征求和。因此，当 2时，有[122-14]。此结果已被改进和推广，通常称之为 函数的零点密度定理。 ⑨ 在直线=1上，L(,)0。由此，对任意固定的，可推出算术级数中的素数定理。 ⑩ 存在绝对正常数，使得对任意固定的模,在所有的函数L(,)( mod )中,仅可能除去一个例外函数外,均在区域[122-15]内无零点。如果这样的例外函数L(,)存在,那么一定是模 的实的非主特征，且 L(,) 在上述区域内只有一个一级实零点 。这一性质是狄利克雷L函数与黎曼函数的一个主要差别。研究对应于实特征的L函数的实零点，是L函数论的最重要问题之一。 A。 佩奇于1935年证明了：存在绝对正常数，使得对任意的实原特征 mod，3，必有 L(1,)(。由此可推出，存在绝对正常数，使得对任意的实特征 mod ，3，当 [122-16] 时，(,)0。 C。L。西格尔于1936年证明了：对任给的正数，存在正常数()，使得对任意的实原特征mod, 3，必有[122-17]。由此推出,对任给正数，必有正常数 c()，使得对任意的实特征 mod，3，当[122-18]时，L(,)0。 C。 L。 西格尔的结果虽然优于A。 佩奇的结果,但是常数()和()至今没有办法计算出来。 从性质⑩、、可推得有余项估计的算术级数中的素数定理（见素数分布）。类似于黎曼假设，有所谓广义黎曼假设,即猜测所有的狄利克雷L函数的非无聊零点都位于直线=1/2上，通常简记作GRH。大量的数值计算以及理论上的探讨都支持这一假设，但它至今还没有被证明或否定。从GRH可推出一系列重要的数论结果,虽然都是一些假设性的结果（其中有的已被无条件地证明了），但是却指出了研究 函数零点的重要意义和方向。 。