求证:方程3^x +4^x +5^x=6^x只有唯一解 x=3
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设方程3^x +4^x +5^x=6^x 另外有解: x=3+m (m不等于零)则: 3^(3+m)+4^(3+m) +5^(3+m) = 6^(3+m)== 3^3*3^m + 4^3*4^m + 5^3*5^m = 6^3*6^m = (3^3+4^3+5^3)*6^m== 3^3*(6^m-3^m) + 4^3*(6^m-4^m) + 5^3*(6^m-5^m) = 0.......(1)m 0时: (1)式左边 0, 方程不成立m < 0时: (1)式左边 < 0, 方程不成立因此, 不存在解 x=3+m (m不等于零)即: 方程3^x +4^x +5^x=6^x只有唯一解 x=3
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证明:将等式变形为 (3/6)^x+(4/6)^x+(5/6)^x=1因为函数f(x)= (3/6)^x+(4/6)^x+(5/6)^x为严格递减函数,所以该函数图像与g(x)=1的图像有且仅有一个交点.也就是说, 方程3^x +4^x +5^x=6^x只有唯一解.又因为当x=3时满足等式,故得证这题我做过,绝对正确!!