已知椭圆X^2/a^2+Y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=√2/2,直线X+Y+1=0与椭圆交于P,Q两点,且OP⊥OQ,求这个椭圆方程.
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已知椭圆X^2/a^2+Y^2/b^2=1(ab0)的离心率e=√2/2,直线X+Y+1=0与椭圆交于P,Q两点,且OP⊥OQ,求这个椭圆方程. 解：e=c/a=√2/2,==〉c^=a^/2=b^∴椭圆方程为 x^+2y^=a^∵P,Q在直线X+Y+1=0上，设P(m,-m-1)、Q(n,-n-1),代入椭圆方程m^+2(m+1)^=a^,n^+2(n+1)^=a^即：方程x^+2(x+1)^=a^因两个根m。n3x^+4x+2-a^=0∴m+n=-4/3,mn=(2-a^)/3∵OP⊥OQ,∴[-(m+1)/m][-(n+1)/n]=-1,==mn+m+n+1=-mn2mn+(m+n)+1=02(2-a^)/3-4/3+1=04-2a^-4+3=02a^=3a^=3/2∴椭圆方程为 2x^+4y^=3