求范围的问题

在△ ＡＢＣ中，ＡＢＣ分别是a b c 边所对的角，若a b c成为等差数列，Ｂ的范围？

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假定 b 长度为 1 单位，a=1+x, c=1-x, 不妨假定 a=c, 则 x=0. 又因为b+ca, 2-x1+x, x<1/2, 0<=x^2<1/4. 现在根据 余弦定理， cos(B)=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=(1+2x^2)/(2-2x^2)=3/(2-2x^2)-1.由于 0<=x^2<1/4, 可算出 1/2<=cos(B)<1, 0 度 < B <= 60 度。===========可用极端情形估计之，但角度随x的增减性并非一目了然。其中以 b 为基准并非随意，实为利用对称性简化计算之努力。

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在△ ＡＢＣ中，ＡＢＣ分别是a b c 边所对的角，若a b c成为等差数列，Ｂ的范围？解:∵a b c成为等差数列,∴2b=a+c,由正弦定理得:2sinB=sinA+sinC∴4sin(B/2)cos(B/2)=2sin[(A+C)/2]cos[[(A-C)/2]∵在△ ＡＢＣ中，Ａ+Ｂ+Ｃ=180°∴cos[(A+C)/2]=sin(B/2)≠0∴2sin(B/2)=cos[[(A-C)/2]∵0°≤|(A-C)/2|＜90°∴1≥sin[[(A-C)/2]＞0∴1/2≥sin(B/2)＞030°≥B/2＞0°∴0°＜B≤60°