过原点Q的直线L与圆C:(X-a)^2+(y+a-4)^2=1交于P、Q两点.(1)求使向量OP×向量OQ最小的a的值;(2)在(1)的条件下,求|向量OP|+|向量OQ|的取值范围.
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解:
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基本知识：一、过切点的半径垂直于切线，因此，切线、半径以及连心线构成以连心线为斜边的直角三角形。二、圆的切割线定理：OP*OQ=OT^2。从原点发出的切线的切点是T。(x-a)^2+(y+a-4)^2=1的圆心是C(a,4-a)，半径R=1。所以|OP|*|OQ|=|OT|^2=|OC|^2-R^2=[a^2+(a-4)^2]-1=2a^2-8a+15因为，向量的数性积OP*OQ=|OP|*|OQ|cosα(此处α=∠POQ=0)。=(2a^2-8a+15)*1=2(a-2)^2+7所以a=2时,OP*OQ的最小值是7。2）此时|OP|*|OQ|=7 & |OC|-R=4√2-1=(|OP|+|OQ|)^2=|OP|^2+|OQ|^2+2|OP|*|OQ|=|OP|^2+7/|OP|^2+2*7=2√7+14,当仅当|OP|=|OQ|时，等号成立。所以，的|OP|+|OQ|最小值是√（14+2√7）,最大值是在割线过圆心时的(4√2-1)+(4√2+1)=8√2。