设椭圆中心为O,过椭圆的一个焦点引直线l与椭圆交于A、B两点,如果能使 ∠AOB=90°,试求椭圆离心率的最小值,并求出此时直线l与椭圆长轴的夹角.
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设椭圆中心为O,过椭圆的一个焦点引直线l与椭圆交于AB两点,如果∠AOB=90°,试求椭圆离心率的最小值,并求出此时直线l与椭圆长轴的夹角。 解:设椭圆方程x^/a^+y^/b^=1、A(x1,y1)B(x2,y2)①直线l的倾斜α≠90°设直线l斜率为k,且直线l过F(c,0)直线l方程y=k(x-c)代入椭圆方程x^/a^+y^/b^=1得:(b^+a^k^)x^-2a^ck^x+a^(c^k^-b^)=0由韦达定理得:x1+x2=2a^ck^/(b^+a^k^),x1×x2=a^(c^k^-b^)/(b^+a^k^)∵∠AOB=90°∴x1x2+y1y2=0由x1x2+y1y2=x1x2+k(x1-c)k(x2-c)=(k^+1)x1x2-ck^(x1+x2)+c^k^=0可得:(a^c^-b^×b^)k^=a^b^a^c^-b^×b^＞0,ac＞b^=a^-c^,e^+e-1＞0∴e＞(-1+√5)/2,[e＜(-1-√5)/2舍]②直线l的倾斜α=90°把x1=c代入椭圆方程x^/a^+y^/b^=1得:|y1|=b^/a如果∠AOB=90°则:b^/a=c∴b^=ac,a^-c^=ac,e^+e-1=0e=(-1+√5)/2,[e=(-1-√5)/2舍]由①,②得:1＞e≥(-1+√5)/2∴直线l与椭圆长轴的夹角为α=90°时椭圆离心率e取最小值(-1+√5)/2,。