已知函数Y= f(x)的定义域为R,且对任意X.X'属于R均有 f(x+X')=f(X)+ f(x')且对任意X>0,都有f(X)<0, f(3)=-3(1)试证明:函数Y=f(X)是R上的单调减函数;(2)试求函数Y=f(X)在[m,n]上的值域.(m,n属于Z,且m.n<0)
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已知函数Y= f(x)的定义域为R,且对任意X.X'属于R均有 f(x+X')=f(X)+ f(x')且对任意X0,都有f(X)0,都有f(X)x1,不妨令x2=x1+e,其中e为一正数,有f(x2)=f(x1+e)=f(x1)+f(e)0又由于函数y＝f（x）是R上的单调减函数．所以y＝f（x）在［m，n］上也为单调减函数，即y＝f（x）在［m，n］上的最大值为f（m），最小值为f（n）．显然f(n)＝f[1＋(n－1)]＝f(1)＋f(n－1)＝2f(1)＋f(n－2)＝……＝nf(1),同理f(m)＝mf(1)f(3)=3f(1)=-3，所以f(1)=-1.所以f(m)=-m,f(n)=-n．因此函数y＝f(x)在［m，n］上的值域为[-n,-m]．
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1)对任意两个数x1,x2,且x2x1,不妨令x2=x1+e,其中e为一正数,有f(x2)=f(x1+e)=f(x1)+f(e)0
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分析:（1）可根据函数单调性的定义进行论证，考虑证明过程中如何利用题设条件；（2）由（1）的结论可知f（m）、f（n）分别是函数y＝f（x）在［m、n］上的最大值与最小值，故求出f（m）与f（n）就可得所求值域．（1）证明:任取x1，x2∈R，且x1x1，∴x2－x10，∴f（x2－x1）<0，∴f（x2）＝f（x1）＋f（x2－x1）