1^2 +2^2 +3^2 +...+ n^2=n(n+1)(2n+1)/6烦请各位告诉我这个公式是怎样推导出来的,谢谢帮忙!
热心网友
我们知道 (m+1)^3 - m^3 = 3*m^2 + 3*m + 1，可以得到下列等式：2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 13^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 14^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1.........(n+1)^3 - n^3 = 3.n^2 + 3*n + 1以上式子相加得到(n+1)^3 - 1 = 3*Sn + 3*n(n+1)/2 + n其中Sn = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ...... + n^2化简整理得到：Sn = n*(n + 1)*(2n + 1)/6
热心网友
用组合数公式也可以设(m,n)在n中选n的组合数,有(2,n)=n(n-1)/2,(3,n)=n(n-1)(n-2)/6,(m+1,n+1)=(m+1,n)+(m,n).(2,2)+(2,3)+...+(2,n)==Sn/2-(1+2+3+...+n)/2==Sn/2 -n(n+1)/4 (*)又有(2,2)+(2,3)+...+(2,n)==(3,3)+(2,3)+...+(2,n)==(3,4)+(2,4)+...+(2,n)==(3,n+1)==(n+1)*n*(n-1)/6 (**)(*)(**)两式联立,可得Sn==n*(n+1)(2n+1)/6