5^=25=12+137^=49=24+259^=81=40+4111^=121=60+61……用自然数n表示其中规律。
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因为是奇数平方,故等式左边=(2n+1)^2 [这里n从0开始取，(现在新的教材应该规定N是包括0的吧)，这个形式也为了后面计算方便]然后我们找一下规律: 1^2=0+13^2=4+55^2=12+137^2=24+259^2=40+41。。。。通过观察发现----4-0=4，12-4=8，24-12=12，40-12=16 。。。。。。原来和项的第一个偶数之间差值成"等差数列"下面我们算第一个偶数p：当n=0时，p=0当n=1时，p=4n当n=2时，p=4((n-1)+n)当n=3时，p=4((n-2)+(n-1)+n)我们又可以看出，p=1+2+3+。。。+n=n(1+n)/2所以两项的和=4n(1+n)/2+4n(1+n)/2+1=4n(1+n)+1故而，我们得到通式：(2n+1)^2=4n(n+1)+1[注：如果n从1开始取(即认为N是不包括零的，因为不知道现在教材是如何规定的)那么，通式就为：(2n-1)^2=4(n-1)(n-2)+1][另：如果试子用上下两项的关系，那么就更简单的表示：我们设第n项为Cn,那么Cn=C(n-1)+8(n-1) n是非零自然数]。
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(2n+3)^2=(n+1)(2n+4)+(n+1)(2n+4)+1 n为自然数
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左边规律(2n+3)^2,右边是两个连续的自然数(2n+3)^2=4n^2+12n+9(拆成两个连续自然数的和,即4n^2+12n+9=4n^2+12n+8+1=2(2n^2+6n+4)+1=(2n^2+6n+4)+(2n^2+6n+5)=［(n+1)(2n+4)］+［(n+1)(2n+4)+1］ n为自然数 说明［(n+1)(2n+4)］与［(n+1)(2n+4)+1］是两个连续的自然数