设集合P={x|x=m^2+n^2,m,n属于z},求证:当x1,x2属于P时,均有x1x2属于P
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若x1,x2∈{x|x=m^2+n^2,m,n属于z},则x1=a^2+b^2,x2=c^2+d^2, a,b,c,d∈Z.x1x2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac)^2+(ad)^2+(bc)^2+(bd)^2=(ac)^2+(ad)^2+(bc)^2+(bd)^2+2abcd-2abcd=[(ac)^2+(bd)^2+2abcd]+[(ad)^2+(bc)^2-2abcd]=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2∵ a,b,c,d∈Z.∴ac+bd∈Z,ad-bc∈Z.∴x1x2属于P .
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设集合P={x|x=m^2+n^2,m,n属于z},求证:当x1,x2属于P时,均有x1x2属于P 设s、t∈z ，设x1=m^2+n^2 ,x2=s^2+t^2所以 x1*x2=(m^2+n^2)(s^2+t^2)=(ms)^2 +(mt)^2 +(ns)^2 +(nt)^2=(ms+nt)^2 + (mt-ns)^2 所以x1*x2 ∈P