怎样证明勾股定理

多方法

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在边长为c正方形中,有四个斜边为c的全等直角三角形,已知他们的直角边长为a,b.由于本人不懂如何用电脑画图,所以请楼主自己画一个,很简单的证明:S正=4*S三+S小正 c^2=4*(1/2)ab+(a-b)^2 =2ab+a^2+b^2-2ab =a^2+b^2这定理是由我国古代数学家赵爽证明的.方法有很多,可惜图画不出来.

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中间有一些符号实在是打不出来，请见谅证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形。从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等。 即a^2+b^2+4×ab/2=c^2+4×ab/2， 整理得 a^2+b^2=c^2。 【证法2】（邹元治证明）以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 。 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上。∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF。∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º。∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º。∴ 四边形EFGH是一个边长为c的正方形。 它的面积等于c2。 ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA。∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º。又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º。∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于(a+b)^2 。∴(a+b)^2=4×ab/2+c^2 。 ∴a^2+b^2=c^2 。 【证法3】（赵爽证明）以a、b 为直角边（ba）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 。 把这四个直角三角形拼成如图所示形状。 ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB。∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2。∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º。∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于 。∴4×ab/2+(b-a)^2=c^2 。∴a^2+b^2=c^2 。【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 。 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上。 ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC。∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º。 ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º。∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于c^2/2 。又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴ AD∥BC。∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于(a+b)^2/2 。∴(a+b)^2/2=2×ab/2+c^2/2 。∴a^2=b^2=c^2 。 【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c。 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。 过C作AC的延长线交DF于点P。 ∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,∴ ∠EGF = ∠BED，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180º―90º= 90º。又∵ AB = BE = EG = GA = c，∴ ABEG是一个边长为c的正方形。 ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º。∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD。∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º。 即 ∠CBD= 90º。又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a。∴ BDPC是一个边长为a的正方形。同理，HPFG是一个边长为b的正方形。设多边形GHCBE的面积为S，则a^2+b^2=S+2×ab/2,c^2=S+2×ab/2 ∴ a^2+b^2=c^2 。 【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba） ，斜边长为c。 再做一个边长为c的正方形。 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上。过点Q作QP∥BC，交AC于点P。 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N。 ∵ ∠BCA = 90º，QP∥BC，∴ ∠MPC = 90º，∵ BM⊥PQ，∴ ∠BMP = 90º，∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90º。∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º，∴ ∠QBM = ∠ABC，又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c，∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA。同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF。从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）。 【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD。 过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L。 ∵ AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD，∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，∵ ΔFAB的面积等于a^2/2 ，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴ 矩形ADLM的面积 = a^2。同理可证，矩形MLEB的面积 =b^2 。∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积∴ c^2=a^2+b^2 ，即a^2+b^2=c^2 。 【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D。 在ΔADC和ΔACB中，∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º，∠CAD = ∠BAC，∴ ΔADC ∽ ΔACB。AD∶AC = AC ∶AB，即AC^2=AD×AB同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有BC^2=BD×AB 。∴AC^2+BC^2=(AD+BD)×AB=AB^2 ，即 a^2+b^2=c^2。 【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba），斜边长为c。 再做一个边长为c的正方形。 把它们拼成如图所示的多边形。 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R。 过B作BP⊥AF，垂足为P。 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H。∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º，∴ ∠DAH = ∠BAC。又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，AD = AB = c，∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA。∴ DH = BC = a，AH = AC = b。由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA。 即PB = CA = b，AP= a，从而PH = b―a。 ∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,RtΔDHA ≌ RtΔBCA。∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA 。∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA 。 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º，∴ DGFH是一个边长为a的正方形。 ∴ GF = FH = a 。 TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a 。∴ TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）。用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为 c^2=S1+S2+S3+S4+S5 ①∵ S8+S3+S4 =(b+(b-a))(a+b-a)/2=b^2-ab/2 ，S5=S8+S9，∴S3+S4 =b^2-ab/2-S8=b^2-S1-S8 。 ②把②代入①，得c^2= S1+S2+b^2-S1-S8+S8+S9 = b^2+S2+S9。∴a^2+b^2=c^2 。 【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（ba），斜边的长为c。 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上。 用数字表示面积的编号（如图）。∵ ∠ TBE = ∠ABH = 90º，∴ ∠TBH = ∠ABE。又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º，BT = BE = b，∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE。∴ HT = AE = a。∴ GH = GT―HT = b―a。又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90º，∴ ∠GHF = ∠DBC。∵ DB = EB―ED = b―a，∠HGF = ∠BDC = 90º，∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC。 即 。过Q作QM⊥AG，垂足是M。 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE= ∠QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌ RtΔQAM 。 又RtΔHBT ≌ RtΔABE。 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM 。 即 。 由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE。 ∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE，∴ ∠FQM = ∠CAR。又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a，∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC。 即S4=S6 。∵c^2=S1+S2+S3+S4+S5 ，a^2=S1+S6 ，b^2+S3+S7+S8 ，又∵ S7=S2，S8=S5 ，S4=S6 ，∴ a^2+b^2= S1+S6+S3+S7+S8=S1+S4+S3+S2+S5=c^2 ，即a^2+b^2=c^2 。 【证法11】（利用切割线定理证明）在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c。 如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a。 因为∠BCA = 90º，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线。 由切割线定理，得AC^2= AE×AD= (AB+BE)(AB-BD)=(c+a)(c-a)=c^2-a^2 ，即b^2=c^2-a^2 ，∴ a^2+b^2=c^2。 【证法12】（利用多列米定理证明）在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）。 过点A作AD∥CB，过点B作BD∥CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆。 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有AB×DC=AD×BC+AC×BD，∵ AB = DC = c，AD = BC = a，AC = BD = b，∴AB^2=BC^2+AC^2 ，即c^2=a^2+b^2 ，∴a^2+b^2=c^2 。 【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c。 作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r。∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，∴AC+BC-AB=(AE+CE)+(BD+CD)-(AF+BF) = CE+CD= r + r = 2r,即a+b+c=2r ，∴a+b=2r+c 。∴(a+b)^2=(2r+c)^2 ，即a^2+b^2=4(r^2+rc)+c^2 ，∵S(ABC)=ab/2 ，∴2ab=4S(ABC) ，又∵S(ABC) = S(AOB)+S(BOC)+S(AOC) = cr/2+ar/2+br/2= (a+b+c)r/2 =(2r+c+c)r/2=c^2+rc ，∴4(r^2+rc)=4S(ABC) ，∴4(r^2+rc)=2ab ，∴ a^2+b^2+2ab=2ab+c^2， ∴a^2+b^2=c^2 。【证法14】（利用反证法证明）如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D。 假设a^2+b^2≠c^2 ，即假设 AC^2+BC^2≠AB^2，则由AB^2=AB·AB=AB(AD+BD)=AB·AD+AB·BD 可知AC^2≠AB·AD ，或者BC^2≠AB·AD 。 即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB。在ΔADC和ΔACB中，∵ ∠A = ∠A，∴ 若 AD：AC≠AC：AB，则∠ADC≠∠ACB。在ΔCDB和ΔACB中，∵ ∠B = ∠B，∴ 若BD：BC≠BC：AB，则∠CDB≠∠ACB。又∵ ∠ACB = 90º，∴ ∠ADC≠90º，∠CDB≠90º。这与作法CD⊥AB矛盾。 所以， 的假设不能成立。∴a^2+b^2=c^2 。 【证法15】（辛卜松证明） 设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c。 作边长是a+b的正方形ABCD。 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 ；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 = (a+b)^2=4×ab/2+c^2=2ab+c^2。∴ a^2+b^2+2ab=2ab+c^2 ,∴a^2+b^2=c^2 。 【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（ba），斜边的长为c。 做两个边长分别为a、b的正方形（ba），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上。 用数字表示面积的编号（如图）。在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC，则 AD = c。∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a，∴ DM = EM―ED = ―a = b。又∵ ∠CMD = 90º，CM = a，∠AED = 90º， AE = b，∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC。∴ ∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c。∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º，∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º，∴ ∠ADC = 90º。∴ 作AB∥DC，CB∥DA，则ABCD是一个边长为c的正方形。∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º，∴ ∠BAF=∠DAE。连结FB，在ΔABF和ΔADE中，∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE，∴ ΔABF ≌ ΔADE。∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a。∴ 点B、F、G、H在一条直线上。在RtΔABF和RtΔBCG中，∵ AB = BC = c，BF = CG = a，∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG。∵c^2=S2+S3+S4+S5 ，b^2=S1+S2+S6 ， a^2=S3+S7 ， S1=S5=S4=S6+S7 ，∴ a^2+b^2=S3+S7+S1+S2+S6= S2+S3+S1+(S6+S7)= S2+S3+S4+S5= c^2∴ a^2+b^2=c^2 。。

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我记得人教版初中几何课本上讲过,现在记不得了,你可以去翻翻看,方法真的很多