已知点P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆x^2+y^2-2y+1=0的两条切线,A.B是切点,C为圆心,求四边形PACB面积的最小值.
热心网友
圆的方程为(x-1)^2+(y-1)^2=1,所以圆心为(1,1),半径为1S(PACB)=S△ACP+S△BCP=1/2×AC×AP+1/2×BC×BP,而AC=BC=1,AP=BP,所以S(PACB)=(AP+BP)/2=AP,所以只需求出切线长的最小值设直线上一点为P(x,y),所以3x+4y+8=0...............又因为切线长的平方=P到圆心的距离的平方-半径的平方即AP^2=(x-1)^2+(y-1)^2-1.........................将代入得:AP^2=(25x^2+40x+144)/16所以当x=-40/50=-4/5时AP^2最小,最小值为8,所以AP最小值为2√2即S(PACB)最小值为2√2
热心网友
如下图所示，点D与点C关于直线3x+4y+8=0对称。点E为DC与直线3x+4y+8=0的交点。圆x^2+y^2-2x-2y+1=0的半径记为R 。R=1。四边形PACB面积=1/2*AP*R+1/2*BP*R=（1/2）*（AP+BP）求四边形PACB面积的最小值即求AP+BP的最小值。（图中红色线段BA’为合题意的最短线段。即B，P，A’三点在同一直线上。此时点P就是点E）EC=3，EB=2√2，A’E=EB=2√2。四边形PACB面积的最小值为2√2