已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)过双曲线右焦点F的动直线l交双曲线于A，B两点，当a,b满足什么关系时，存在直线l使得三角形OAB为等边三角形
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idf
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设双曲线的右焦点为C,则C(√(a^2+b^2),0).通过作图可知，只有直线l与直线x=√(a^2+b^2)重合时，三角形OAB才有可能为等边三角形.令x=√(a^2+b^2)代入双曲线方程，结得以y^2=b^4/a^2,又(a＞0,b＞0)，故y=±b^2/a,故A(√(a^2+b^2),b^2/a),B(√(a^2+b^2),-b^2/a),|AB|=2b^2/a,因三角形OAB为等边三角形，所以|AO|^2=|AB|^2,即[√(a^2+b^2)]^2+(b^2/a)^2=(2b^2/a)^2,即a^4+a^2×b^2=3b^4.
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F(√(a^2+b^2),0)根据双曲线的对称性,x轴必为AB的垂直平分线且角AOF=30度OF=√（a^2+b^2),FA=√(a^2+b^2)/√3即A（√（a^2+b^2),√(a^2+b^2)/√3），把A代入双曲线得（a^2+b^2）/a^2-(a^2+b^2)/3b^2=1得b^2/a^2-a^2/3b^2=1/3即3b^4-a^4=a^2b^2