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几个重要不等式(二)柯西不等式 ，当且仅当bi=lai (1£i£n)时取等号柯西不等式的几种变形形式1。设aiÎR,bi0 (i=1,2,…,n)则，当且仅当bi=lai (1£i£n)时取等号2。设ai,bi同号且不为零(i=1,2,…,n)，则，当且仅当b1=b2=…=bn时取等号例1。已知a1,a2,a3,…,an，b1,b2,…,bn为正数，求证：证明：左边=例2。对实数a1,a2,…,an,求证：证明：左边=例3。在DABC中，设其各边长为a,b,c,外接圆半径为R，求证：证明：左边³例4。设a,b,c为正数，且a+b+c=1,求证：证明：左边= ³ = =例5。若n是不小于2的正整数，试证：证明：所以求证式等价于由柯西不等式有于是：又由柯西不等式有0,则0且a12³b12³c120则例4。设a1,a2,…,an是1,2,…,n的一个排列，求证：证明：设b1,b2,…,bn-1是a1,a2,…,an-1的一个排列，且b10由排序不等式有： 两式相加得又因为：a3³b3³c30,故两式相加得例6。切比雪不等式：若a1£a2£…£an且b1£b2£…£bn,则a1£a2£…£an且b1³b2³…³bn,则证明：由排序不等式有：a1b1+a2b2+…+anbn= a1b1+a2b2+…+anbna1b1+a2b2+…+anbn³ a1b2+a2b3+…+anb1a1b1+a2b2+…+anbn³ a1b3+a2b4+…+anb2…………………………………………a1b1+a2b2+…+anbn³ a1bn+a2b1+…+anbn-1将以上式子相加得：n(a1b1+a2b2+…+anbn)³ a1(b1+b2+…+bn)+ a2(b1+b2+…+bn)+…+ an(b1+b2+…+bn)∴ 。