俩个数列{a(n)},{b(n)}满足b(n)={a(1)+2a(2)+3a(3)+...+na(n)}/(1+2+3+...+n) .如果{b(n)}是等差数列,证明{a(n)}也是等差数列.
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n+1 nb(n+1)-b(n)=2{ [∑ia(i)]/[(n+1)(n+2)]-[∑ia(i)]/[n(n+1)]} i=1 i=1 n =2{[∑ia(i)]/(n+1)}*[1/(n+2)-1/n]}+2a(n+1)/(n+2) i=1 =常数＝C所以 n {[∑ia(i)]/(n+1)}*[1/(n+2)-1/n]}+2a(n+1)/(n+2)＝C/2 i=1 na(n+1)/(n+2)-{[∑ia(i)]/(n+1)}/n(n+1)=C/4 i=1 na(n+1)/(n+2)-[∑ia(i)]/[n(n+1)^2]=C/4 i=1。
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设bn公差为x,b2-b1=(a1+2a2)/(1+2)-a1=2/3*(a2-a1)=x,则a2-a1=1.5x后面用数学归纳法论证，其计算过程实在复杂，难于书写