任取一个自然数，如果它是偶数，我们,就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1。在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数。对于这个新的自然数,如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1.如果我们如此反复使用这个变换，最终必定得到1.这就是数学中所谓的“3x+1问题”或“3X+1猜想”。除此之外它还有着一大堆其他各种各样的名字，大概都和研究和传播它的数学家或者地点有关的：克拉兹(Collatz)问题，哈斯(Hasse)算法问题，乌拉姆(Ulam)问题等等。今天在数学文献里，大家就简单地把它称作“3x+1问题”。我想知道关于这个数学名题的研究有哪些主要成果,现在进展如何?
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“ 3x+1 猜想”。这是最有名气的数字黑洞。它的计算非常简单，从任何一个正整数开始，按照一个简单的运算模式：偶数除以 2 ，奇数乘以 3 再加 1 ，如此最终必然跌进 4 ， 2 ， 1 的循环。 历史简介3x+1 猜想的起源扑朔迷离。一种说法是，这个游戏大约起源于 20 世纪 30 年代，德国的汉堡大学的卡拉茨 (Collats,L。) ，在他研究数论函数是提出次问题，但未发表出来。也有另一种说法是二次大战前后，在美国的一个小镇首先出现并流行这个数字游戏。 后来的历史大体清楚。到了 20 世纪 50 年代，借助于美国坎布里奇市召开的国际数学大会和一些数学家的，这个游戏得到传播，随后在美国和欧洲风靡一时。到了约 1960 年，日本数学家角古静夫将这个问题带到日本。 角古静夫在回忆录中写道：“有一个时期，美国著名学府耶鲁大学的每一个人都在研究这个问题，但都没有任何结果。有人开玩笑说，它是敌人企图阻滞美国数学研究进展的一个大阴谋的组成部分。” 这个游戏也有人称作角古猜想，在美国更多的称作冰雹猜想，是因为运算中数字忽大忽小，犹如冰雹产生时冰粒忽上忽下一般。实际上， 它还有希拉苏斯 (Sgrcuse) 问题、海色 (Hasse) 问题、乌拉姆 (Vlam) 问题等名称。目前情况人们对 3x+1 猜想作了很多研究，也作了无数次的验证。东京大学的米田信夫用计算机验证了 1 － 2^40( 约 1。2*10^12) 的所有整数，无一例外到达 4 ， 2 ， 1 循环。数学家们关于这个问题写了 20 来篇论文，但离解决还很遥远。 1970 年以后，就陆续设立有关于解决这个问题的奖金， H。S。Coxefex 悬赏 50 美元 P。Erdos 悬赏 500 美元 B。Thwaifes 悬赏 1000 英镑 这个游戏具有优秀猜想的条件：貌似极其简单，实则极其繁难。因此它必然风靡一时。直到今天，仍不断有人（包括中学生、大学生、或者教师）宣称自己用初等方法证明了 3x+1 猜想。一般说来，专家不会认真去看这些证明。因此对我们普通人来说，作为一个游戏可以玩玩，顶多在小的枝节上可以考虑一下，不要生出证明的企图。 实际上 , 有人认为 ,3x+1 猜想将是费尔马大定理证明之后的下一个数学上的伟大成就 。 J。 Conway （喜欢数学游戏的朋友可能会记起这个名字来，著名的生命游戏就是他发明的）在 1972 年考虑了 3x+1 问题的推广形式。他以一个素数 p 代替 3 ，提出了一个类似“归结到 1 ” 的猜想。他在论文中证明了，这个猜想在集合论公理系统中是不可证的。 这真是兜头一瓢冷水！可怜的数学家！他们经常自己造个钉子在那儿碰得头破血流。 但是我们完全不必为数学家们担心 。 数学家们最喜欢也最善于举一反三了 。 由一个问题 , 他们可以造出许多问题来 。 抽象再抽象 , 一般再一般，他们由此开辟了许多新的天地 , 得到许多新奇的结论 。 这个问题当然也不例外 。例如 3x+1 问题对负整数如何，相似的运算会产生什么现象 ? 于是发现了三个不同的循环： 1)-1 → -2 2)-5 → -14 → -7 → -20 → -10 3)-17 → -50 → -25 → -74 → -37 → -110 → -55 → -164 → -82 → -41 → -122 → -61 → -182 → -91 → -272 → -136 → -68 → -34 他们猜想，这就是所有的循环，而所有的负整数都会掉进其中一个里。又例如 5x+1 问题，也就是在奇数的情况下用 5x+1 来取代 3x+1 。 这一下又出来了好几个循环： 1)6 → 3 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 2)13 → 66 → 33 → 166 → 83 → 416 → 208 → 104 → 52 → 26 3)17 → 86 → 43 → 216 → 108 → 54 → 27 → 136 → 68 → 34 但是 7 起始的序列好象怎么也跑不到一个循环里去。还有人研究 3x-1 问题，甚至“反 3x+1 问题”。这些推广太多了。因此，就算 3x+1 问题终于被解决了，宣布命题为真或为假或不可证，看看所有这些变种，也够数学家们暂时再自娱自乐上几百年的了。 。