P是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,若角PF1F2=α,角PF2F1=β,求证:椭圆的离心率为e=cos(α+β/2)/cos(α-β/2)
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P是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(ab0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,若角PF1F2=α,角PF2F1=β,求证:椭圆的离心率为e=cos(α+β/2)/cos(α-β/2) 因为PF1+PF2=2a ,F1F2= 2c所以由正弦定理得： PF1/sinβ ＝PF2/sinα ＝F1F2/sin(α+β)所以由合比定理得：2a/(sinα+sinβ) = 2c/sin(α+β)所以 e=c/a = cos(α+β/2)/cos(α-β/2)