已知a>0,b>0,且a+b=1,求证:(a+1/a)(b+1/b)≥25/4
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(a+1/a)(b+1/b)=ab+1/ab+a/b+b/a=(a^2b^2+a^2+b^2+1)/ab=[a^2b^2+(a+b)^2-2ab+1]/ab=(a^2b^2+1-2ab+1)/ab=(a^2b^2-2ab+2)/ab=ab-2+2/ab=(ab+2/ab)-2,又因为a+b=1,而a+b≥2√ab,所以1≥2√ab,所以0＜ab≤1/4,而ab+2/ab在(0,√2]上是减函数,所以当ab=1/4时ab+2/ab最小,ab+2/ab最小值为1/4+8=33/4所以(a+1/a)(b+1/b)≥33/4-2=25/4
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(a+1/a)(b+1/b)=ab+1/ab+b/a+a/b≥ab+1/ab+2=ab+1/16ab +15/16ab +2 ≥2√(ab*1/16ab) +15/16ab +2=1/2+15/16ab +2≥5/2 +15÷16[(a+b)/2]平方 =5/2+[15÷(16*1/4)]=5/2+15/4=25/4
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(a+1/a)(b+1/b)=ab+1/ab+a/b+b/aa/b+b/a=2......(1)(a=b=1时有最小值）ab=0)（有人称之为对勾函数）此函数有最小值2，在1时取得最小值。但是此时x=ab==1/4+4=17/4(a=b=1时有最小值)因此(a+1/a)(b+1/b)=17/4+2=25/4.