数列1*1/2,2*1/4,3*1/8,4*1/16,...的前n项的和为？数列1*1/2,2*1/4,3*1/8,4*1/16,...的前n项的和为？
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数列1*1/2,2*1/4,3*1/8,4*1/16,。。。的前n项的和为？解法1:Ｓn＝1×(1/2)+2×(1/4)+3×(1/8)+…(ｎ-1)×[1/2^(ｎ-1)]+ｎ×(1/2^ｎ)－－①(1/2)Ｓn＝1×(1/4)+2×(1/8)+3×(1/16)+…(ｎ-1)×(1/2^ｎ)+ｎ×[1/2^(ｎ+1)]－②①-②得:(1/2)Ｓn＝(1/2)+(1/4)+(1/8)+(1/16)+…(1/2^ｎ)-ｎ×[1/2^(ｎ+1)]={(1/2)-[1/2^(ｎ+1)]}/[1-(1/2)]-ｎ×[1/2^(ｎ+1)]=1-1/2^ｎ-ｎ×[1/2^(ｎ+1)]Ｓn=2-1/2^(ｎ-1)-ｎ×(1/2^ｎ)解法2:构造数列(x/2)+(x/2)^2+(x/2)^3+(x/2)^4+……+(x/2)^n∴(x/2)+(x/2)^2+(x/2)^3+(x/2)^4+……+(x/2)^n=[(x/2)-(x/2)^(n+1)]/(1-x/2)上面等式两边分别对x求导得:∴左边=1×(x/2)/x+2×(x/2)^2/x+3×(x/2)^3/x+4×(x/2)^4/x+……+ｎ×(x/2)^n/x右边={[(1/2)-(n+1)(x/2)^n](1-x/2)+[(x/2)-(x/2)^(n+1)]/2}/(1-x/2)^2令x=1左边=1×(1/2)+2×(1/4)+3×(1/8)+…(ｎ-1)×[1/2^(ｎ-1)]+ｎ×(1/2^ｎ)右边=1-1/2^ｎ-ｎ×[1/2^(ｎ+1)]∴Ｓn=2-1/2^(ｎ-1)-ｎ×(1/2^ｎ)。
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通项为An=n/2*n,,,此数列为一个等差数列与等比数列对应项乘积的形式，，所以设Sn=1*1/2,2*1/4,3*1/8,4*1/16......11乘公比１／２得１／２Sn=.........21-2就可求出和
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