已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数,周期T=5.函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,且在[1,4]上是二次函数.在x=2时函数取最小值-5.试求(1)f(1)+f(4)的值(2)y=f(x),x∈[1,4]的解析式
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已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数,周期T=5。函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,且在[1,4]上是二次函数。在x=2时函数取最小值-5。试求(1)f(1)+f(4)的值(2)y=f(x),x∈[1,4]的解析式 解:(1)∵函数y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函数。f(-1)=-f(1)∴f(-1)=f(5-1)=f(4)。∴-f(1)=f(4)。即f(1)+f(4)=0(2)由在x=2时函数取得最小值，最小值为-5x∈[1，4]。可设f(x)=a(x-2)^-5[注:x的平方表示成x^]f(1)=a-5且f(4)=4a-5又函数y=f（x)(-1≤x≤1）是奇函数。f(-1)=-f(1)=-a+5y=f（x）是定义在R上的周期函数，周期T=5，∴f(-1)=f(5-1)=f(4)=4a-5∴-a+5=4a-5则a=2。可得:x∈[1，4],f(x)=2(x-2)^-5。