16、函数f(n)是定义在正整数集上，并取非负整数值，且对所有m，n，有f(m＋n)－f(m)－f(n)=0或1，以及f(2)=0，f(3)>0，f(9999)=3333，求f(1982)．
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1。f(m)+f(n)+1≥f(m＋n)≥f(m)+f(n)==2。0=f(2)≥2f(1)≥0==f(1)=0,f(2)+f(1)+1=1≥f(3)≥1==f(3)=1。f(3k)=f（3+3+。。+3）≥kf(3)=k,3。3333≥k0,则f(3k)=k。否则有1个3333k0，使f(3k)k==3333=f(3*3333)=f(3k+3(3333-k))≥f(3k)+f(3(3333-k))k+3333-k=3333，矛盾。所以3333≥k0,则f(3k)=k。4。3333≥3k+1，3k+20则f(3k+1)=f(3k+2)=k。否则有1个33333k+1，或3k+20，使f(3k+1)k，或f(3k+2)k==如：f(3k+1)k《==》f(3k+1)≥k+1由3。得，3k+1=f(3*（3k+1）)≥f(k+1)+f(k+1)+f(k+1)≥3（k+1）=3k+3，矛盾，同理若f(3k+2)k有矛盾。所以3333≥3k+1，3k+20则f(3k+1)=f(3k+2)=k。5。33331982=3*660+2由4。得f(1982)=f(3*660+2)=660。。
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初步想法:1)f(x)是个递增函数,2)f(x+3)-f(x)=13)f(3k)=f(3k+1)=f(3k+2)=k4)f(1982)=f(3*660+2)=660逐步证明:(1)求各个特殊值:f(1)=0;[f(2)-2f(1)=0,f(1)=0,f(2)=0]f(2)=0;(已知)f(3)0,1=f(3)-f(2)-f(1)=0;1=f(3)=0;f(3)=1;(2)证:f(x)是个递增函数。f(x+1)-f(x)-f(1)=0;f(x+1)=f(x)(3)证:当K=0,f(6)-f(3)=1, ----------(2)f(9)-f(6)=1, ----------(3)。。。。。。f(9999)-f(9996)=1 ------(3333)(1)+(2)+(3)+。。。。。。+(3333):f(9999)=3333而已知f(9999)=3333,所以(2)到(3333)式中的所有大于号都不成立,即当K=f(6K+2)-2f(3K+1)=01=f(6K+2)-f(6K)-f(2)=0f(6K)+1=f(6K+2)=2f(3K+1)f(6K)+1=2f(3K+1)K+1/2=f(3K+1)f(3K+1)=K(5)证:f(3K+2)=f(3K+1)=f(3K)=Kf(9K+6)=3f(3K+2)3K+2=3f(3K+2)K+2/3=f(3K+2)f(3K+2)=f(3K+1)=f(3K)=K结论:f(1982)=f(3*660+2)=660。 毕。 2005/9/15。。