在ΔABC的边OA,OB上分别取M,N,使OM/OA=1/3,ON/OB=1/4,设线段AN与BM的交点为P,向量OA=a,向量OB=b,用a,b表示向量OP
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方法1:设MP=λ1PB,(向量二字省略),则OP=OM/(1+λ1)+λ1b/(1+λ1)所以OP=[(a/3)/(1+λ1)]+[λ1b/(1+λ1)]。。。。。。。。。。。。。。设AP=λ2PE,则OP=a/(1+λ2)+λ2ON/(1+λ2)所以OP=a/(1+λ2)+[(λ2b/4)/(1+λ2)]。。。。。。。。。。。。。。。。。因为a,b不共线,所以由得:(1/3)/(1+λ1)=1/(1+λ2)λ1/(1+λ1)=(λ2/4)/(1+λ2)所以λ1=2/9,λ2=8/3代入得:OP=3a/11+2b/11方法2:建立一个理想物力模型，设这个三角形是一个理想的杠杆组，每一点都是平衡的设A点受力为1N，则因为AM:OM=2:1,所以由杠杆原理得:O点受力为2N同理因为杠杆OB平衡,而ON:NB=1:3,所以B点受力为2/3N而杠杆AO支点受力为1+2=3N,杠杆MB平衡，所以MP:BP=B点受力:M点受力=2:9因为向量MB=b-a/3,所以向量MP=2MB/11=2b/11-2a/33,所以向量OP=OM+MP=a/3+2b/11-2a/33=3a/11+2b/11。
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在ΔABC的边OA,OB上分别取M,N,使OM/OA=1/3,ON/OB=1/4,设线段AN与BM的交点为P,向量OA=a,向量OB=b,用a,b表示向量OP 解:向量NM=(1/3)a-(1/4)b, 向量BA=a-b,∵向量MP与向量NM共线. ∴向量MP=x[(1/3)a-(1/4)b].∵向量AP与向量BA共线. ∴向量AP=y(a-b).∵向量MA+向量AP=向量MP.∴(2/3)a+y(a-b)=x[(1/3)a-(1/4)b]∴[(2/3)+y-(1/3)x]×a=[y-(1/4)x]×b∵a与b不共线. ∴[(2/3)+y-(1/3)x=0且y-(1/4)x=0∴x=4y且y=2,x=8.∴向量AP=2(a-b).向量OP=向量OA+向量AP=a+2(a-b)=3a-2b.
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过M作AN的平行线交OB于D,可以求得OD/ON=DM/AN=OM/OA=1/3OD=ON/3=0B/(4*3)=b/12DM=(1/3)ANDN=ON-OD=(1/4)OB-b/12=b/6PN/MD=BN/(BN+DN)=(3/4)b/[(3/4)b+b/6]=9/11PN=(9/11)(1/3)AN=(3/11)ANPA=AN-PN=(8/11)ANPN/PA=3/8OA^2=ON^2+AN^2-2ON*AN*cosONAa^2=[(1/4)b]^2+AN^2-2(1/4)b*ANcosONAAN^2+b^2/16-a^2-(1/2)b*AN*cosONAOP^2=ON^2+PN^2-2ON*PN*cosONAOP^2=b^2/16+[(3/11)AN]^2-2(1/4)b*(3/11)AN*cosONA =b^2/16+(9/121)AN^2-(3/22)b*AN*cosONA。
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由梅涅劳斯定理PN/PA=3/8NP=3(a-b/4)/11ON=b/4OP=ON+NP(3a+2b)/11
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应该是三角形OAB吧?