三角形ABC,内心I,外心O,AI垂直IO,求证2BC=AB+AC
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连接AI并延长交外接圆于D易知AI=ID=2Rsin(A/2)由欧拉公式IO^2=R^2-2Rr=R^2-AI^22Rsin(A/2)=(2Rr)^0.5sin(A/2)=(r/2R)^0.5cosA=(R-r)/R1-cosA=r/R又r=(b+c-a)tan(A/2)=(b+c-a)(1-cosA)/2sinA=r(b+c-a)/(2RsinA)=r(b+c-a)/a所以 b+c=2a即 AC+AB=2BC
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连接AI且延长AI交圆O于D,连接DO交BC于H.连接BD,DC,IC===AI=ID,BD=DC,BH=HC,BH⊥DH,∠DIC=∠DAC+∠ACI,∠DCI=∠BCI+∠BCD因为I是内心,∠ACI=∠BCD∠BCD=∠DAC===∠DCI=∠DIC===CD=ID=AI作IF⊥AB于F===△AIF≌△CDH===AF=CH=(1/2)BC=(AB+AC-BC)/2AB+AC=2BC