已知三棱柱S-ABC三条侧棱SA，SB，SC两两垂直，它们与底面ABC成角分别为α ，β ，γ求证：SIN^2(α) +SIN^2(β )+SIN^2(γ)为定植,并求此值(注:^2是平方) 这个问题问了好几天了，这次可一定要有人来答。。。
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证明:设S在底面ABC上的射影为O,连AO,BO,CO。并设AO,BO,CO交对边与D,E,F。∵SA⊥SB,SA⊥SC∴SA⊥面SBC∴SA⊥BC又SO⊥底面ABC,由三垂线定理可得:∴AO⊥BC,同理BO⊥AC,CO⊥AB∴O是△ABC的垂心。在△ASD中,∵SO⊥底面ABC,∴SA与底面ABC成角就是∠SAO=α。∴sinα=SD/AD=∴sin^α=SD^/AD^又射影定理(平面几何)可得:SD^=DO·AD[注:或利用△SOD∽△ASD]∴sin^α=SD^/AD^=DO·AD/AD^=DO/AD又三角形OBC的面积为ＳOBC=(1/2)BC·DO。三角形ABC的面积为ＳABC=(1/2)BC·AD。DO/AD=ＳOBC/ＳABC∴sin^α=ＳOBC/ＳABC同理sin^β=ＳOAC/ＳABC,sin^γ=ＳOAB/ＳABCsin^α+sin^β+sin^γ=ＳOBC/ＳABC+ＳOAC/ＳABC+ＳOAB/ＳABC=(ＳOBC+ＳOAC+ＳOAB)/ＳABC=1。
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致新浪：你们在给予我的答复中已经保证不再毁灭上传的文件。很遗憾！刚才我的一篇解答，又被系统以错误的“字数超过10000”，“出错了”的判词毁灭。要知道在打出数学——尤其是几何的文件的时候，需要在中文、英文、数学符号之间来回变换。短短的几百字文件，对一个不熟悉电脑，更不会打字的人来说是多么的不容易呀！更何况解答数学问题还需要同时进行严密的思考——逻辑推理啊！你们的系统的准确程度太差了！而且缺少同情心。本着对新浪的爱护、对诚心求知的莘莘学子的关爱，也为了在《知识人》贡献热心的网友不再招到无辜的“牺牲”，奉劝新浪诸君努力工作吧，不要再制造“冤假错案？了！下面不需要更多的思考了，再使用约40分钟打出这篇解答，请大家评一评吧。证：因为三棱锥S-ABC中，SA⊥SB，并且SA⊥SC,所以SA⊥平面SBC。根据平面图形（面积S）与它在另一个平面内的射影（面积S'）以及二平面的二面角α的关系：S'/S=cosα---S'=Scosα。知道S(SBC)=Scosa 同理S(SCA)=Scosb;S(SAB)=Scosc。[S=S(ABC)]。设顶点在平面内的射影是点。则有S(TBC)=S(SBC)cosa; S(TCA)=S(SCA)cosb, S(TAB)=S(SAB)cosc。因为 S(TBC)+S(TCA)+S(TAB)=S(ABC)---S(SBC)cosa+S(SCA)cosb+S(SAB)cosc=S---(Scosa)cosa)+(Scosb)cosb)+(Scosc)cosc=S---(cosa)^2+(cosb)^2+(cosc)^2=1---[1-(sina)^2]+[1-(sinb)^2]+1-(sinc)^2]=1---(sina)^2+(sinb)^2+(sinc)^2=2。 证完。。
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你这不是三棱柱，是三棱锥。解起来颇为麻烦，我掐指算了一下，值可能是2【看到楼下严谨的工作态度与务实的工作作风，非常感动。老板你就采纳了他的答案吧！还等什么呢？】【嗨！当然采纳“yilwohz”的答案了。并不是因为他是智者，而是他先回答呀！沧海先生不要生气，只好委屈你了。至于我，因为没回答你的提问，愧于见人，你当我不存在好了。】【在此我谨向沧海先生及所有人致以最诚恳的歉意！沧海先生的答案是正确的。我掐算错了，看来科学真是来不得半点虚假。我没有理解清题意，题目的条件是棱与面ABC的夹角，不是面SAB与面ABC的夹角。“yilwohz”可能也犯了相同的错误。我误导了别人，也祸害了自己。该死！】