已知椭圆中心在原点,长轴在X轴上,直线X+Y=1被椭圆截得的弦AB的长为2√2,且AB的中点与椭圆中心连线的斜率为√2/2,求这个椭圆方程.
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设椭圆的方程是px^2+qy^2=1 (0(p+q)x^2+2qx+(q-1)=0---x1+x2=-2q/(p+q), x1x2=(q-1)/(p+q)---(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=(-2q)^2/(p+q)^2-4(q-1)/(p+q)=4(p+q-pq)/(p+q)^2因为coxα=|x1-x2|/|AB|所以|x1-x2|=|AB|cosα,α是直线AB的倾斜角，tanα=-1,所以cosα=1/√2。---(x1-x2)^2=|AB|^2(cosα)^2---4(p+q-pq)/(p+q)^2=8/2---(p+q)^2=p+q-pq。。。。。。(*)设AB的中点是M(x,y)x=(x1+x2)/2=-q/(p+q)y=(y1+y2)/2=[(1-x1)+(1-y1)]/2=1-(x1+x2)/2=1+q/(p+q)=(p+2q)/(p+q)k(OM)=2√2---[-q/(p+q)]/[p+2q)/(p+q}]=-q/(p+2q)=2√2。。。。。。(**)由(**)---p=-(1+√2/4)q0,q0矛盾，问题不会有解。可能题目有误。在校正错误以后，按照此途径运算，相信会得到正确解答的。。