设圆满足;(1)截Y轴所得弦长是2(2)被X轴分成两段弧比3;1 在满足(1)(2)的所有圆中,求圆心到直线L;X-2Y=0的距离最小的圆方程
热心网友
设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|。由题设知圆P截x轴所得劣弧所对的圆心角为90°，∴圆P截x轴所得的弦长为√2 r,故r^2=2b^2。又圆P截y轴所得的的弦长为2，所以有r^2=a^2+1。从而得2b^2-a^2=1。又点P(a，b)到直线x-2y=0的距离得d=Ιa-2bΙ/√5, ∴a-2b=±√5d, 得a^2=4b^2±4√5b d+5d^2 ①将a^2=2b^2-1代入①式，整理得2b^2±4√5b d+5d^2+1=0 (2)把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△=8(5d^2-1)≥0，得5d^2≥1。所以5d^2有最小值1，从而d有最小值√5/5。将其代入②式得2b^2±4b+2=0，解得b=±1。将b=±1代入r^2=2b^2得r^2=2，由r^2=a^2+1得a=±1。综上a=±1，b=±1，r^2=2。由|a-2b|=1知a，b同号。于是，所求圆的方程是(x-1)^2+(y-1)^2=2或(x+1)^2+(y+1)^2=2。因你上面有同一问，那回答是解法一，此是解法二。有疑问可参考前面解法一。。
热心网友
设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|。由题设知圆P截x轴所得劣弧所对的圆心角为90°，∴圆P截x轴所得的弦长为√2 r,故r^2=2b^2。又圆P截y轴所得的的弦长为2，所以有r^2=a^2+1。从而得2b^2-a^2=1。又点P(a，b)到直线x-2y=0的距离得d==Ι-2bΙ/√5, ∴a-2b=±√5d, 得a^2=4b^2±4√5b d+5d^2 ①将a^2=2b^2-1代入①式，整理得2b^2±4√5b d+5d^2+1=0 (2)把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△=8(5d^2-1)≥0，得5d^2≥1。所以5d^2有最小值1，从而d有最小值√5/5。将其代入②式得2b^2±4b+2=0，解得b=±1。将b=±1代入r^2=2b^2得r^2=2，由r^2=a^2+1得a=±1。综上a=±1，b=±1，r^2=2。由|a-2b|=1知a，b同号。于是，所求圆的方程是(x-1)^2+(y-1)^2=2或(x+1)^2+(y+1)^2=2。因你上面有同一问，那回答是解法一，此是解法二。有疑问可参考前面解法一。