数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1，an+1=（n+2/n）Sn （n∈1，2，3……） 证明： 数列{Sn/n}是等比数列！ Sn+1=4an
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证明： 1)a(n+1)=((n+2)/n)*Sn Sn=n/(n+2)*a(n+1) (1) S(n-1)+an=n/(n+2)*a(n+1) (2) 根据(1)得到S(n-1)=((n-1)/(n+1))*an (3) 把(3)带入(2) ((n-1)/(n+1))*an+an=n/(n+2)*a(n+1) 所以(2n/(n+1))*an=n/(n+2)*a(n+1) 所以a(n+1)/an=2(n+2)/(n+1) (4) 由(1)得到Sn/n=a(n+1)/(n+2) 下标减1得到S(n-1)/(n-1)=an/(n+1) 所以(Sn/n)/(S(n-1)/(n-1)) =(a(n+1)/(n+2))/(an/(n+1)) =(a(n+1)/an)*(n+1)/(n+2) (把(4)带入) =2(n+2)/(n+1)*(n+1)/(n+2) =2 所以Sn/n是以2为公比的等比数列。(2)由(1){Sn/n}={1,2,4,8,。。。} 所以Sn=2^(n-1)*n S(n-1)=2^(n-2)*(n-1) 所以an=Sn-S(n-1) =2^(n-1)*n-2^(n-2)*(n-1) =2^(n-1)*n-2^(n-2)*n+2^(n-2) =2^(n-2)*n+2^(n-2) =2^(n-2)*(n+1) 而S(n+1)=2^n*(n+1) 4an=4*2^(n-2)*(n+1) =2^n*(n+1) 所以S(n+1)=4an 。