四边形ABCD，向量AB＝（6，1），向量BC＝（x,y）向量CD＝（-2，-3）。1，若向量BC平行于向量DA，求x与y之间的关系2，在1的前提下又向量AC垂直于 向量BD，求x,y的值及四边形ABCD的面积。
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1)DA=DC+CB+BA=-(CD+BC+AB)=(-x-4,-y+2)DA∥BC---(-x-4)y-(-y+2)x=0---x=-2y。。。。。。(1)。2)AC=AB+BC=(6,1)+(x,y)=(x+6,y+1);BD=AD-AB=-DA-AB=(x+4,y-2)-(6,1)=(x-2,y-3)AC⊥BD---(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0。。。。。。。(2)。把(1)代入(2):(-2y+6)(-2y-2)+(y+1)(y-3)=0---y^2-2y-3=0---y1=-1;y2=3代入(1):x1=2;x2=-6。AC1=(8,0);BD1=(0,0),|BD|=0。[对角线长为0，不构成四边形]AC2=(0,4);BD2=(-8,0),|AC|=4;|BD|=8。因为对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长乘积的一半，所以，S(ABCD)=(|AC|+|BD|)/2=4*8/2=16。
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1。向量AD=向量AB+向量BC+向量CD=（6，1）+（x,y）+（-2，-3）=（x+4，y-2），因为向量BC平行于向量DA，所以向量BC平行于向量AD，即（x+4，y-2）平行（x，y），所以（x+4）y=x（y-2），所以4y=-2x，x=-2y；2。向量AC=向量AB+向量BC=（x+6，y+1），向量BD=向量BC+向量CD=（x-2，y-3），所以（x+6）（x-2）+（y+1）（y-3）=x^2+4x-12+y^2-2y-3=0，将x=-2y带入整理得5y^2-10y-15=0,y^2-2y-3=0,(y-3)(y+1)=0,所以y=3或y=-1,当y=3时x=-6,此时向量AC=(0,4),向量BD=(-8,0),面积S=1/2模AC模BD=16;当y=-1时x=2,此时向量AC=(8,0),向量BD=(0,-4),面积S=1/2模AC模BD=16。故x=-6、y=3或x=2、y=-1，四边形ABCD的面积总是16。
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1。 向量DA=-(向量AB+向量BC+向量CD)=(-x-4,-y+2)向量BC平行于向量DA, == x/y = (-x-4)/(-y+2)== x + 2y = 02。 向量AC = 向量AB + 向量BC = (x+6,y+1)向量BD = 向量BC + 向量CD = (x-2,y-3)向量AC垂直于向量BD, === 0 = 向量AC*向量BD = (x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)== 向量BC＝（x,y）= (-6,3) or (2,-1)(x,y）= (-6,3)时: 向量AC = (0,4), 向量BD = (-8,0) == 四边形ABCD的面积 = |向量AC|*|向量BD|/2 = 16(x,y）= (2,-1)时: 向量AC = (8,0), 向量BD = (0,-4) == 四边形ABCD的面积 = |向量AC|*|向量BD|/2 = 16因此: 四边形ABCD的面积 = 16。