我们高一学生研究的函数的定义是近代定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数。而像x^2+y^2=1这样能画出图象的式子，以及二次函数图象旋转90°得到的图象，在函数的近代定义下都不是函数。请问，函数的现代定义是什么呢？以上两例若用函数的现代定义来解释，它们是函数吗？
热心网友
以前映射定义里不要求x的象是“唯一”的，所以函数有单值函数与多值函数的区分，从这个意义上说，x=y^2与x^2+y^2=1当x是自变量时，都是函数，属于多值函数；现在的映射定义要求x的象是“唯一”的，所以函数都是单值函数，从这个意义上说，x=y^2与x^2+y^2=1当x是自变量时，都不是函数，但我们仍然可以把它分别分拆两个函数进行研究，即分别分拆成y=√x与y=-√x和y=√(1-x^2)与y=-√(1-x^2)。
热心网友
1837年，德国数学家狄里克莱（Dirichlet）认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，所以他的定义是：“如果对于x的每一值，y总有完全确定的值与之对应，则y是x的函数．” 根据这个定义，即使像如下表述的，它仍然被说成是函数（狄里克莱函数）： f（x）= 1（x为有理数）， 0（x为无理数）． 在这个函数中，如果x由0逐渐增大地取值，则f（x）忽0忽1．在无论怎样小的区间里，f（x）无限止地忽0忽1．因此，它难用一个或几个式子来加以表示，甚至究竟能否找出表达式也是一个问题．但是不管其能否用表达式表示，在狄里克莱的定义下，这个f（x）仍是一个函数． 狄里克莱的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受．至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义． 生产实践和科学实验的进一步发展，又引起函数概念新的尖锐矛盾，本世纪20年代，人类开始研究微观物理现象．1930年量子力学问世了，在量子力学中需要用到一种新的函数——δ-函数， 即ρ（ｘ）＝ 0，x≠0， ∞,x=0． 且 δ-函数的出现，引起了人们的激烈争论．按照函数原来的定义，只允许数与数之间建立对应关系，而没有把“∞”作为数．另外，对于自变量只有一个点不为零的函数，其积分值却不等于零，这也是不可想象的．然而，δ-函数确实是实际模型的抽象．例如，当汽车、火车通过桥梁时，自然对桥梁产生压力．从理论上讲，车辆的轮子和桥面的接触点只有一个，设车辆对轨道、桥面的压力为一单位，这时在接触点x=0处的压强是 P（0）=压力／接触面=1／0=∞． 其余点x≠0处，因无压力，故无压强，即P（x）=0。另外，我们知道压强函数的积分等于压力，即 函数概念就在这样的历史条件下能动地向前发展，产生了新的现代函数定义：若对集合M的任意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f（x）。元素x称为自变元，元素y称为因变元． 。