今天看到一道复杂的数学题，题目：在ＲＴ三角形ＡＢＣ中，角Ｃ＝９０度，Ｇ为重心，求证；ＧＡ的平方＋ＧＢ的平方＝５ＧＣ的平方．顺便解释一下什么是重心．万分感谢！！！
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三角形重心G是三角形三边上中线CD,AE,BF的公共点(可以证明三中线交于一点,这点就是三角形重心),重心到对边中点的距离是中线长的三分之一,如GD=1/3CD,于是有GC=2/3CD,同理GA=2/3AE,GB=2/3BF,下面的证明用到这些结论。证明:设直角三角形三边AB,BC,CA的中点分别为D,E,F,三边长记为c,a,b由于斜边AB上的中线CD等于斜边的一半,CD=1/2 *c,故GC=2/3*1/2c=1/3cGC平方=(1/9)c平方 (1)直角三角形ACE中AE平方=b平方+(a/2)平方=b平方+a平方/4GA=2/3AE,GA平方=(2/3AE)平方=(4/9)AE平方=(4/9)b平方+(1/9)a平方(2)同理,可在直角三角形BCF中求得GB平方=(4/9)a平方+(1/9)b平方 (3)(2)+(3)得GA平方+GB平方=(5/9)[a平方+b平方](*)由勾股定理a平方+b平方=c平方故(*)式=(5/9)c平方,再由(1)即知(*)=5(1)即GA平方+GB平方=5GC平方。
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解 :重心：三角形三条中线的交点。设BF 、 CD 、AE 分别为三条中线。依重心的定义，三线交于一点G 则有： c^2 = a^2 + b^2 依重心的性质，有：GC =（2/3）CD ；GB=（2/3）BF ；GA= （2/3）AE待证的等式左右同时乘以（9/4），原题转化为：证明AE^2 + BF^2 = 5CD^2 然而，AE^2 =AC^2 + CE^2 = b^2 + (a/2)^2 BF^2= BC^2 + CF^2 = a^2 + (b/2)^2 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,CD= c/2于是，AE^2 + BF^2=b^2 + (a/2)^2 + a^2 + (b/2)^2 =(5c^2)/4=5CD^2 证毕。
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用重心公式求解。
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三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心。
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三角形重心G是三角形三边上中线CD,AE,BF的公共点(可以证明三中线交于一点,这点就是三角形重心),重心到对边中点的距离是中线长的三分之一,如GD=1/3CD,于是有GC=2/3CD,同理GA=2/3AE,GB=2/3BF,下面的证明用到这些结论。证明:设直角三角形三边AB,BC,CA的中点分别为D,E,F,三边长记为c,a,b由于斜边AB上的中线CD等于斜边的一半,CD=1/2 *c,故GC=2/3*1/2c=1/3cGC平方=(1/9)c平方 (1)直角三角形ACE中AE平方=b平方+(a/2)平方=b平方+a平方/4GA=2/3AE,GA平方=(2/3AE)平方=(4/9)AE平方=(4/9)b平方+(1/9)a平方(2)同理,可在直角三角形BCF中求得GB平方=(4/9)a平方+(1/9)b平方 (3)(2)+(3)得GA平方+GB平方=(5/9)[a平方+b平方](*)由勾股定理a平方+b平方=c平方故(*)式=(5/9)c平方,再由(1)即知(*)=5(1)即GA平方+GB平方=5GC平方。 。
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我算晕了 同意上面wandong8352的见解
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三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心。(1）重心到每边中点的距离等于这边中线的三分之一。 （2）三角形顶点与重心的连线必过对边中点。
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三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心。(1）重心到每边中点的距离等于这边中线的三分之一。 （2）三角形顶点与重心的连线必过对边中点。三角形重心G是三角形三边上中线CD,AE,BF的公共点(可以证明三中线交于一点,这点就是三角形重心),重心到对边中点的距离是中线长的三分之一,如GD=1/3CD,于是有GC=2/3CD,同理GA=2/3AE,GB=2/3BF,下面的证明用到这些结论。证明:设直角三角形三边AB,BC,CA的中点分别为D,E,F,三边长记为c,a,b由于斜边AB上的中线CD等于斜边的一半,CD=1/2 *c,故GC=2/3*1/2c=1/3cGC平方=(1/9)c平方 (1)直角三角形ACE中AE平方=b平方+(a/2)平方=b平方+a平方/4GA=2/3AE,GA平方=(2/3AE)平方=(4/9)AE平方=(4/9)b平方+(1/9)a平方(2)同理,可在直角三角形BCF中求得GB平方=(4/9)a平方+(1/9)b平方 (3)(2)+(3)得GA平方+GB平方=(5/9)[a平方+b平方](*)由勾股定理a平方+b平方=c平方故(*)式=(5/9)c平方,再由(1)即知(*)=5(1)即GA平方+GB平方=5GC平方。 。
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三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心。(1）重心到每边中点的距离等于这边中线的三分之一。 （2）三角形顶点与重心的连线必过对边中点。 三角形重心G是三角形三边上中线CD,AE,BF的公共点(可以证明三中线交于一点,这点就是三角形重心),重心到对边中点的距离是中线长的三分之一,如GD=1/3CD,于是有GC=2/3CD,同理GA=2/3AE,GB=2/3BF,下面的证明用到这些结论。证明:设直角三角形三边AB,BC,CA的中点分别为D,E,F,三边长记为c,a,b由于斜边AB上的中线CD等于斜边的一半,CD=1/2 *c,故GC=2/3*1/2c=1/3cGC平方=(1/9)c平方 (1)直角三角形ACE中AE平方=b平方+(a/2)平方=b平方+a平方/4GA=2/3AE,GA平方=(2/3AE)平方=(4/9)AE平方=(4/9)b平方+(1/9)a平方(2)同理,可在直角三角形BCF中求得GB平方=(4/9)a平方+(1/9)b平方 (3)(2)+(3)得GA平方+GB平方=(5/9)[a平方+b平方](*)由勾股定理a平方+b平方=c平方故(*)式=(5/9)c平方,再由(1)即知(*)=5(1)即GA平方+GB平方=5GC平方。 。
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大洒家立刻奏凯
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重心就是该三角形的三边上中线的交点。重心就是均质等厚的该形状的板材的重力中心，只要支起该点可以放平该板！重心的特点是(1）重心到每边中点的距离等于这边中线的三分之一。 （2）三角形顶点与重心的连线必过对边中点。 可以设该三角形的两个直角边的边长为m,n.则利用上述的特点结合勾股定理，有ＧＡ的平方=（1/2 m）的平方+ n的平方，ＧＢ的平方=（1/2 n）的平方+ m的平方ＧＡ的平方＋ＧＢ的平方＝（5/4 m）的平方+（5/4 n）的平方=5/4（m的平方+n的平方）=5/4 直角边的平方=……=５ＧＣ的平方。
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我来答．在ＲＴ三角形ＡＢＣ中，角Ｃ＝９０度，Ｇ为重心，求证；ＧＡ的平方＋ＧＢ的平方＝５ＧＣ的平方．首先解答:三角形重心G是三角形三边上中线CD,AE,BF的公共点(可以证明三中线交于一点,这点就是三角形重心),重心到对边中点的距离是中线长的三分之一,如GD=1/3CD,于是有GC=2/3CD,同理GA=2/3AE,GB=2/3BF,下面的证明用到这些结论。证明:设直角三角形三边AB,BC,CA的中点分别为D,E,F,三边长记为c,a,b由于斜边AB上的中线CD等于斜边的一半,CD=1/2 *c,故GC=2/3*1/2c=1/3cGC平方=(1/9)c平方 (1)直角三角形ACE中AE平方=b平方+(a/2)平方=b平方+a平方/4GA=2/3AE,GA平方=(2/3AE)平方=(4/9)AE平方=(4/9)b平方+(1/9)a平方(2)同理,可在直角三角形BCF中求得GB平方=(4/9)a平方+(1/9)b平方 (3)(2)+(3)得GA平方+GB平方=(5/9)[a平方+b平方](*)由勾股定理a平方+b平方=c平方故(*)式=(5/9)c平方,再由(1)即知(*)=5(1)即GA平方+GB平方=5GC平方。 。
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三角形的三条中线交于一点，这个交点即为三角形的重心，重心把中线分为2:1两部份，在三角形中重心通常以G表示，对任何三角形而言，重心的位置总在三角形的内部。
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重心就是另外两个锐角的角平分线的交点!我作不出来了,好多年没学数学了!
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如图：
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三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心。 (1）重心到每边中点的距离等于这边中线的三分之一。 （2）三角形顶点与重心的连线必过对边中点。
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在ＲＴ三角形ＡＢＣ中，角Ｃ＝９０度，Ｇ为重心，求证；ＧＡ的平方＋ＧＢ的平方＝５ＧＣ的平方．首先解答:三角形重心G是三角形三边上中线CD,AE,BF的公共点(可以证明三中线交于一点,这点就是三角形重心),重心到对边中点的距离是中线长的三分之一,如GD=1/3CD,于是有GC=2/3CD,同理GA=2/3AE,GB=2/3BF,下面的证明用到这些结论。证明:设直角三角形三边AB,BC,CA的中点分别为D,E,F,三边长记为c,a,b 由于斜边AB上的中线CD等于斜边的一半,CD=1/2 *c,故GC=2/3*1/2c=1/3c GC平方=(1/9)c平方 (1)直角三角形ACE中AE平方=b平方+(a/2)平方=b平方+a平方/4 GA=2/3AE,GA平方=(2/3AE)平方=(4/9)AE平方=(4/9)b平方+(1/9)a平方(2)同理,可在直角三角形BCF中求得GB平方=(4/9)a平方+(1/9)b平方 (3)(2)+(3)得GA平方+GB平方=(5/9)[a平方+b平方](*)由勾股定理a平方+b平方=c平方故(*)式=(5/9)c平方,再由(1)即知(*)=5(1)即GA平方+GB平方=5GC平方。