空间四边形ABCD的四条边AB、BC、CD、DA以及对角线BD、AC的长均相等，O是正⊿BDC的中心，M、N分别是AC、AB的中点，求异面直线DN与OM所成角的大小
热心网友
设：BD中点为P；BN中点为Q；AM中点为R；ABCD的边长 = a则，PQ||DN，PR||OM。PQ=DN/2=(genhao3)a/4，AQ=3a/4，AR=a/4在三角形AQR中，得：QR=(genhao7)a/4连接A、O，三角形AOC为直角三角形，OM=AC/2=a/2 === PR=3*OM/2 = 3a/4因此，在三角形PQR中：cos角QRP = (PQ^2+PR^2-QR^2)/(2*PQ*PR)=5*(genhao3)/18角QRP = arccos[5*(genhao3)/18]== 异面直线DN与OM所成角 = arccos[5*(genhao3)/18]
热心网友
空间四边形ABCD的四条边AB、BC、CD、DA以及对角线BD、AC的长均相等，O是正⊿BDC的中心，M、N分别是AC、AB的中点，求异面直线DN与OM所成角的大小 解:向量DA=ａ,向量DB=ｂ向量D=ｃ向量DN=(1/2)(ａ+ｂ),向量DM=(1/2)(ａ+ｃ),向量DO=(2/3)[(1/2)(ｂ+ｃ)]=(1/3)(ｂ+ｃ)向量OM=向量DM-向量DO=(1/2)(ａ+ｃ)-(1/3)(ｂ+ｃ)向量OM=1/6(3ａ-2ｂ+ｃ)|ａ|=|ｂ|=|ｃ|=1,ａ,ｂ,ｃ的夹角都是60°则ａ·ｂ=ｂ·ｃ=ｃ·ａ=1/2cos=(向量DN·向量OM)/|向量DN|×|向量OM|=[(1/2)×(1/6)×(ａ+ｂ)·(3ａ-2ｂ+ｃ)]/[(1/2)|ａ+ｂ|×(1/6)|3ａ-2ｂ+ｃ|]=(ａ+ｂ)·(3ａ-2ｂ+ｃ)]/[|ａ+ｂ|×|3ａ-2ｂ+ｃ|]=[3ａ·ａ+ａ·ｂ+ａ·ｃ-2ｂ·ｂ+ｂ·ｃ]/[√(ａ·ａ+2ａ·ｂ+ｂ·ｂ)×(9ａ·ａ+4ｂ·ｂ+ｃ·ｃ-12ａ·ｂ-4ｂ·ｃ+6ａ·ｃ]=(5/2)/√(3×9)=(5√3)/18异面直线DN与OM所成角为:arccos(5√3)/18。