证明：能写成4n+3的形式的质数是无穷多的各位帮忙
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(看来这个简单题目也不简单， 呵呵。 这个方法也是反证法，不过想尽量减少似是而非的东西。）假设只有有限多个 4n+3 型的质数， 它们分别是 P(1), P(2), 。。。, P(k)。 令 Q=P(1)^2P(2)^2。。。P(k)^2+2, 首先， P(1)^2, P(2)^2 等等都是 4n+1 型的数，所以 Q 是 4n+3 型的数。 Q 只能有 4n+1 型和 4n+3 型的素因数，而且至少有一个4n+3 型的素因数R, 因为 若干4n+1 的数的乘积仍然是 4n+1 型， 不可能等于 Q。 其次， 因为 Q 除以 P(1), P(2), 。。。, P(k) 的余数都是 2， R 不可能是 P(1), 。。。, P(k) 中任何一个。我们找出了一个新的 4n+3 型质数， 与假设矛盾。[至于 根号 2+e 为无理数是很简单的，因为假若其为有理数， 则其平方 2+e 也为有理数，e 也必为有理数， 但我们知道 e 是无理数，矛盾。][zhh2360 大师提到你可能是要我证明 (根号 2)+e 是无理数。这个要复杂得多。略述如下。我用 sqrt(2) 代替（根号 2）。假设 sqrt(2)+e 等于有理数 a， 那么 e=a-sqrt(2) 是方程 x^2-2ax+a^2-2=0 的根（另外一根是 a+sqrt(2))。 也就是说 e^2-2ae+a^2-2=0, e=2a-(a^2-2)/e 注意到 e=1+1/1!+1/2!+。。。+1/n!+。。。, 1/e=1-1/1!+1/2!-1/3!+。。。+(-1)^n/n!+。。。两边乘以充分大的 bn!, n 是奇数，b是 a^2 的分母，左边接近一个整数，差距大致是 b/(n+1)， 是个正数。 右边也接近一个整数，但差距大致是 -b（a^2-2)/(n+1), 是个负数。矛盾。 （参考了纪念厄尔多斯Erdos 的“上帝的证明”。]。
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以上答案都基本相似,其实这就是著名的歌德巴赫猜想,被称为数学王冠上的明珠,上世纪我国数学家陈景润在这个上面做出了很大成就,你可以看看这方面的书.
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所有的奇数都可以表示成4n+1,和4n+3的形式。令4m＋3是最大的这种素数。构造 s=2*3*5*7。。。。。。。。*（4m＋3）(4m+3内所有素数相乘） p=s+1现在用s÷4我们可以知道s是偶数，但余数是不等于0,因为所有素数只有2一个素数。所以余数只能等于2令s÷4＝4k+2所以p=4k+31、如果p本生为素数结论得到证明。2、如果p为合数那么p必定为由（4a1+1)*(4a2+1)*。。。(4ai+1)等素数表示的合数，其中（a1,a2,a3,。。。ai都必定大于m) 但是（4a1+1)*(4a2+1)*。。。(4ai+1)＝（4a1a2+4a2+4a1+1)(4a3+1)。。(4ai+1)令h=(a1a2+a1+a2)所以（4a1+1)*(4a2+1)*(4a3+1)。。。(4ai+1)=(4h+1)(4a3+1)。。(4ai+1)=4x+1这与p=4k+3矛盾所以可知其中必有一个素数是4am+3形式的它大于4m+3。
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根据前人成果容易证得：因为除2以外，所有素数都是奇数而奇数可分为4N+1和4N+3型两种，每对孪生素数必定这两种奇数各一个。孪生素数无穷多，所以4N+3型素数也无穷多。
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因为4n+3型的素数必有一个4n+3型的素因数，所以用反证法：设4m+3为最大的4n+3型的素因数构造这样一个合数，k=2*3*7*...*(4m+3)+1(其中除2外乘数全为4n+3型的素因数)，所以k也为4n+3型的数，所以k必有一个4n+3型的素因数，而所有比k小的4n+3型的素因数都不整除k矛盾，所以得证