设a.b.c.∈R,若函数f(x)=ax^2+bx+c g(x)=cx^2+bx+a,且当/x/≤1时,/f(x)/≤2 求证/x/≤1时, /g(x)/≤4
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设a。b。c。∈R,若函数f(x)=ax^2+bx+c g(x)=cx^2+bx+a,且当|x|≤1时,|f(x)|≤2 求证|x|≤1时, |g(x)|≤4 解:①先证明在两个端点处满足条件∵|x|≤1时|f(x)|≤2 ∴|f(1)|=|a+b+c|≤2且|f(-1)|=|a+b+c|≤2 。|g(1)|=|f(1)|=|a+b+c|≤2≤4，|g(-1)|=|f(-1)|=|a-b+c|≤2≤4②若对称轴不在|x|≤1内时,那么|x|≤1时,g(x)是单调递增或单调递减;g(x)的最大,最小值分别在g(1),g(-1)中取得。∴|g(x)|的最大值应是|g(1)|;|g(-1)|中取∴|g(x)|≤4 成立③下面证明若对称轴在|x|≤1内时也应满足条件|g(x)|≤4。∵|a+b|=|a+b+c-c|=|f(1)-f(0)|≤|f(1)|+|f(0)|≤4∴|a+b|≤4∵|a-b|=|a-b+c-c|=|f(-1)-f(0)|≤|f(-1)|+|f(0)|≤4∴|a-b|≤4g(x)=cx^2+bx+a的对称轴是x=-b/(2c)且|-b/2c|≤1|b/c|≤2当x=-b/c时,|g(x)|=|c(-b/2c)^2+b(-b/2c)+a|=|a-b^2/4c|=|a+(-b^2/4c)|≤|a|+|(-b^2/4c)|=|a|+(1/4)×|(-b/c)|×|b|≤|a|+(1/4)×2×|b|=|a|+(1/2)×|b|≤|a|+|b|。[注:|b/c|≤2]∵|a+b|≤4与|a-b|≤4∴a,b同号或其中一个为0时有|a|+|b|=|a+b|≤4∴a,b异号或其中一个为0时有|a|+|b|=|a-b|≤4∴当x=-b/c时,|g(x)|≤|a|+|b|≤4综合①②③得:|x|≤1时, |g(x)|≤4 。