在直角坐标西,A(-1,2,3),B(0,4,5),C(2,6,3),角BAC的内角平分线交BC于点D.E在AD上,满足AE=5AB kAC,求k的值

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在直角坐标系,A(-1,2,3),B(0,4,5),C(2,6,3),角BAC的内角平分线交BC于点D。E在AD上,满足AE=5AB+kAC,求k的值解：向量AB={1,2,2},AC={3,4,0},BC={2,2,-2}设D点坐标为(x,y,z)，则AD={x+1,y-2,z-3}因为D在BC上，所以BD∥BC，有x/2=(y-4)/2=(z-5)/(-2)== y=x+4,z=5-x……⑴因为D在角BAC的平分线上，所以AD在AB、AB上的投影相等，即AB*AD/|AB|=AC*AD/|AC| == [(x+1)+2(y-2)+2(z-3)]/3=[3(x+1)+4(y-2)]/5== 2x+y-5z+15=0……⑵由⑴、⑵解得：x=3/4,y=19/4,z=17/4∴AD={7/4,11/4,5/4}AE=5AB+kAC={5,10,10}+{3k,4k,0}={5+3k,10+4k,10}因为E在AD上，即AE∥AD，有(5+3k)/(7/4)=(10+4k)/(11/4)=10/(5/4)解得：k=3。